作者： 由明代宋濂（1310年—1381年）等人主持编撰。宋濂是明初著名文学家、史学家，曾任翰林院编修。
年代：编撰于明代洪武年间（14世纪末）。
内容简要：《元史》是“二十四史”之一，共210卷，记载了元朝（1271年—1368年）的历史。全书分为本纪、志、列传三部分，内容涵盖政治、经济、文化、军事等方面。由于编撰时间仓促，书中存在一些疏漏，但它仍是研究元朝历史的重要文献，为后世提供了宝贵的史料。
泰始明昌国文-古籍-元史-志-卷五-原文
◎历一
夫明时治历，自黄帝、尧、舜与三代之盛王，莫不重之，其文备见于传记矣。虽去古既远，其法不详，然原其要，不过随时考验，以合于天而已。汉刘歆作《三统历》，始立积年日法，以为推步之准。后世因之，历唐而宋，其更元改法者，凡数十家，岂故相为乖异哉？盖天有不齐之运，而历为一定之法，所以既久而不能不差，既差则不可不改也。
元初承用金《大明历》，庚辰岁，太祖西征，五月望，月蚀不效；二月、五月朔，微月见于西南。中书令耶律楚材以《大明历》后天，乃损节气之分，减周天之秒，去交终之率，治月转之余，课两曜之后先，调五行之出没，以正《大明历》之失。且以中元庚午岁，国兵南伐，而天下略定，推上元庚午岁天正十一月壬戌朔，子正冬至，日月合璧，五星联珠，同会虚宿六度，以应太祖受命之符。又以西域、中原地里殊远，创为里差以增损之，虽东西万里，不复差忒。遂题其名曰《西征庚午元历》，表上之，然不果颁用。
至元四年，西域札马鲁丁撰进《万年历》，世祖稍颁行之。十三年，平宋，遂诏前中书左丞许衡、太子赞善王恂、都水少监郭守敬改治新历。衡等以为金虽改历，止以宋《纪元历》微加增益，实未尝测验于天，乃与南北日官陈鼎臣、邓元麟、毛鹏翼、刘巨渊、王素、岳铉、高敬等参考累代历法，复测候日月星辰消息运行之变，参别同异，酌取中数，以为历本。十七年冬至，历成，诏赐名曰《授时历》。十八年，颁行天下。二十年，诏太子谕德李谦为《历议》，发明新历顺天求合之微，考证前代人为附会之失，诚可以贻之永久，自古及今，其推验之精，盖未有出于此者也。今衡、恂、守敬等所撰《历经》及谦《历议》故存，皆可考据，是用具著于篇。惟《万年历》不复传，而《庚午元历》虽未尝颁用，其为书犹在，因附著于后，使来者有考焉。作《历志》。
授时历议上
验气
天道运行，如环无端，治历者必就阴消阳息之际，以为立法之始。阴阳消息之机，何从而见之？惟候其日晷进退，则其机将无所遁。候之之法，不过植表测景，以究其气至之始。智作能述，前代诸人为法略备，苟能精思密索，心与理会，则前人述作之外，未必无所增益。
旧法择地平衍，设水准绳墨，植表其中，以度其中晷。然表短促，尺寸之下所为分秒太、半、少之数，未易分别。表长，则分寸稍长，所不便者，景虚而淡，难得实景。前人欲就虚景之中考求真实，或设望筒，或置小表，或以木为规，皆取表端日光下彻圭面。今以铜为表，高三十六尺，端挟以二龙，举一横梁，下至圭面，共四十尺，是为八尺之表五。圭表刻为尺寸，旧寸一，今申而为五，厘毫差易分。别创为景符，以取实景。其制以铜叶，博二寸，长加博之二，中穿一窍，若针芥然，以方跂为趺，一端设为机轴，令可开阖，榰其一端，使其势斜倚，北高南下，往来迁就于虚景之中，窍达日光，仅如米许，隐然见横梁于其中。旧法以表端测晷，所得者日体上边之景，今以横梁取之，实得中景，不容有毫末之差。
地中八尺表景，冬至长一丈三尺有奇，夏至尺有五寸。今京师长表，冬至之景七丈九尺八寸有奇，在八尺表则一丈五尺九寸六分；夏至之景一丈一尺七寸有奇，在八尺表则二尺三寸四分。虽晷景长短所在不同，而其景长为冬至，景短为夏至，则一也。惟是气至时刻考求不易，盖至日气正，则一岁气节从而正矣。刘宋祖冲之尝取至前后二十三四日间晷景，折取其中，定为冬至，且以日差比课，推定时刻。宋皇祐间，周琮则取立冬、立春二日之景，以为去至既远，日差颇多，易为推考。《纪元》以后诸历，为法加详，大抵不出冲之之法。新历积日累月，实测中晷，自远日以及近日，取前后日率相埒者，参考同异，初非偏取一二日之景，以取数多者为定，实减《大明历》一十九刻二十分。仍以累岁实测中晷日差分寸，定拟二至时刻于后。
推至元十四年丁丑岁冬至
其年十一月十四日己亥，景长七丈九尺四寸八分五厘五毫；至二十一日丙午，景长七丈九尺五寸四分一厘；二十二日丁未，景长七丈九尺四寸五分五厘。以己亥、丁未二日之景相校，余三分五毫为晷差，进二位；以丙午、丁未二日之景相校，余八分六厘为法；除之，得三十五刻；用减相距日八百刻，余七百六十五刻；折取其中，加半日刻，共为四百三十二刻半；百约为日，得四日；余以十二乘之，百约为时，得三时，满五十又作一时，共得四时；余以十二收之，得三刻；命初起距日己亥算外，得癸卯日辰初三刻为丁丑岁冬至。此取至前后四日景。
十一月初九日甲午，景七丈八尺六寸三分五厘五毫；至二十六日辛亥，景七丈八尺七寸九分三厘五毫；二十七日壬子，景七丈八尺五寸五分。以甲午、壬子景相减，复以辛亥、壬子景相减，准前法求之，亦得癸卯日辰初三刻。至二十八日癸丑，景七丈八尺三寸四厘五毫，用壬子、癸丑二日之景与甲午景，准前法求之，亦合。此取至前后八九日景。
十一月丙戌朔，景七丈五尺九寸八分六厘五毫；二日丁亥，景七丈六尺三寸七分七厘；至十二月初六日庚申，景七丈五尺八寸五分一厘。准前法求之，亦在辰初三刻。此取至前后一十七日景。
十月二十一日
丙子，景七丈九寸七分一厘；至十二月十六日庚午，景七丈七寸六分；十七日辛未，景七丈一寸五分六厘五毫。准前法求之，亦得辰初三刻。此取至前后二十七日景。
六月初五日癸亥，景一丈三尺八分；距十五年五月癸未朔，景一丈三尺三分八厘五毫；初二日甲申，景一丈二尺九寸二分五毫。准前法求之，亦合。此取至前后一百六十日景。
推十五年戊寅岁夏至
五月十九日辛丑，景一丈一尺七分七厘五毫；距二十八日庚戌，景一丈一尺七寸八分；二十九日辛亥，景一丈一尺八寸五厘五毫。用辛丑、庚戌二日之景相减，余二厘五毫，进二位为实；复用庚戌、辛亥景相减，余二分五厘五毫为法；除之，得九刻，用减相距日九百刻，余八百九十一刻；半之，加半日刻，百约，得四日；余以十二乘之，百约，得十一时；余以十二收为刻，得三刻；命初起距日辛丑算外，得乙巳日亥正三刻夏至。此取至前后四日景。
十四年十二月十五日己巳，景七丈一尺三寸四分三厘；距十五年十一月初二日辛巳，景七丈七寸五分九厘五毫；初三日壬午，景七丈一尺四寸六厘。用己巳、壬午景相减，以辛巳、壬午景相减除之，亦合。此用至前后一百五十六日景。
十四年十二月十二日丙寅，景七丈二尺九寸七分二厘五毫；十三日丁卯，景七丈二尺四寸五分四厘五毫；十四日戊辰，景七丈一尺九寸九厘；距十五年十一月初四日癸未，景七丈一尺九寸五分七厘五毫；初五日甲申，景七丈二尺五寸五厘；初六日乙酉，景七丈三尺三分三厘五毫。前后互取，所得时刻皆合。此取至前后一百五十八九日景。
十四年十二月初七日辛酉，景七丈五尺四寸一分七厘；初八日壬戌，景七丈四尺九寸五分九厘五毫；初九日癸亥，景七丈四尺四寸八分六厘；距十五年十一月初九日戊子，景七丈四尺五寸二分五毫；初十日己丑，景七丈五尺三厘五毫；十一日庚寅，景七丈五尺四寸四分九厘五毫。以壬戌、己丑景相减为实，以辛酉、壬戌景相减为法，除之；或以壬戌、癸亥景相减，或以戊子、己丑景相减，若己丑、庚寅景相减，推前法求之，皆合。此取至前后一百六十三四日景。
推十五年戊寅岁冬至
其年十一月十九日戊戌，景七丈八尺三寸一分八厘五毫；距闰十一月初九日戊午，景七丈八尺三寸六分三厘五毫；初十日己未，景七丈八尺八分二厘五毫。用戊戌、戊午二日景相减，余四分五厘为晷差，进二位，以戊午、己未景相减，余二寸八分一厘为法，除之，得一十六刻，加相距日二千刻，半之，加半日刻，百约，得十日；余以十二乘之，百约为时，满五十又进一时，共得七时；余以十二收为刻；命初起距日己亥算外，得戊申日未初三刻为戊寅岁冬至。此取至前后十日景。
十一月十二日辛卯，景七丈五尺八寸八分一厘五毫；十三日壬辰，景七丈六尺三寸一厘五毫；闰十一月十五日甲子，景七丈六尺三寸六分六厘五毫；十六日乙丑，景七丈五尺九寸五分三厘；十七日丙寅，景七丈五尺五寸四厘五毫。用壬辰、甲子景相减为实，以辛卯、壬辰景相减为法，除之，亦得戊申日未初三刻。或用甲子、乙丑景相减，推之，亦合。若用辛卯、乙丑景相减为实，用乙丑、丙寅景相减，除之，并同。此取至前后十六七日景。
十一月初八日丁亥，景七丈四尺三分七厘五毫；闰十一月二十日己巳，景七丈四尺一寸二分；二十一日庚午，景七丈三尺六寸一分四厘五毫。用丁亥、己巳景相减为实，以己巳、庚午景相减，除之，亦同。此取至前后二十一日景。
六月二十六日戊寅，景一丈四尺四寸五分二厘五毫；二十七日己卯，景一丈四尺六寸三分八厘；至十六年四月二日戊寅，景一丈四尺四寸八分一厘。以二戊寅景相减，用后戊寅、己卯景相减，推之，亦同。此取至前后一百五十日景。
五月二十八日庚戌，景一丈一尺七寸八分；至十六年四月二十九日乙巳，景一丈一尺八寸六分三厘；三十日丙午，景一丈一尺七寸八分三厘。用庚戌、丙午景相减，以乙巳、丙午景相减，推之，亦同。此取至前后百七十八日景。
推十六年己卯岁夏至
四月十九日乙未，景一丈二尺三寸六分九厘五毫；二十日丙申，景一丈二尺二寸九分三厘五毫；至五月十九日乙丑，景一丈二尺二寸六分四厘。以丙申、乙丑景相减，余二分九厘五毫为晷差，进二位；以乙未、丙申景相减，得七分六厘为法；除之，得三十八刻；加相距日二千九百刻，半之，加半日刻，百约，得十五日；余以十二乘之，百约，得二时；余以十二收之，得二刻；命初起距日丙申算外，得辛亥日寅正二刻为夏至。此取至前后十五日景。
三月二十一日戊辰，景一丈六尺三寸九分五毫；六月十六日壬辰，景一丈六尺九分九厘五毫；十七日癸巳，景一丈六尺三寸一分一厘。用戊辰、癸巳景相减，以壬辰、癸巳景相减，准前法推之，亦合。此取至前后四十二日景。
三月初二日己酉，景二丈一尺三寸五厘；至七月初七日壬子，景二丈一尺一寸九分五厘五毫；初八日癸丑，景二丈一尺四寸八分六厘五毫。用己酉、壬子景相减，以壬子、癸丑景相减，如前法推之，亦合。此取至前后六十一二日景。
三月戊申朔，景二丈一尺六寸一分一厘；至七月初八日癸丑，景二丈一尺四寸八分六厘五毫；
初九日甲寅，景二丈一尺九寸一分五厘五毫。用戊申、癸丑景相减，以癸丑、甲寅景相减，准前法推之，亦同。此取至前后六十二三日景。
二月十八日乙未，景二丈六尺三分四厘五毫；至七月二十一日丙寅，景二丈五尺八寸九分九厘；二十二日丁卯，景二丈六尺二寸五分九厘。用乙未、丙寅景相减，以丙寅、丁卯景相减，如前法推之，亦同。此取至前后七十五六日景。
二月三日庚辰，景三丈二尺一寸九分五厘五毫；至八月初五日庚辰，景三丈一尺五寸九分六厘五毫；初六日辛巳，景三丈二尺二分六厘五毫。用前庚辰与辛巳景相减，以后庚辰、辛巳景相减，如前推之，亦同。此取至前后九十日景。
正月十九日丁卯，景三丈八尺五寸一厘五毫；至八月十八日癸巳，景三丈七尺八寸二分三厘；十九日甲午，景三丈八尺三寸一分五毫。用丁卯、甲午景相减，以癸巳、甲午景相校，如前推之，亦同。此取至前后一百三四日景。
推十六年己卯岁冬至
十月二十四日戊戌，景七丈六尺七寸四分；至十一月二十五日己巳，景七丈六尺五寸八分；二十六日庚午，景七丈六尺一寸四分二厘五毫。用戊戌、己巳景相减，余一寸六分为晷差，进二位；以己巳、庚午景相减，余四寸三分七厘五毫为法；除之，得三十六刻；以相减距日三千一百刻，余三千六十四刻；半之，加五十刻，百约，得一十五日；余以十二乘之，百约为时，满五十，又进一时，共得十时；余以十二收之为刻，得二刻；命初起距日戊戌算外，得癸丑日戌初二刻冬至。此取至前后十五六日景。
十月十八日壬辰，景七丈四尺五分二厘五毫；十九日癸巳，景七丈四尺五寸四分五厘；二十日甲午，景七丈五尺二分五厘；至十一月二十八日壬申，景七丈五尺三寸二分；二十九日癸酉，景七丈四尺八寸五分二厘五毫；十二月甲戌朔，景七丈四尺三寸六分五厘；初二日乙亥，景七丈三尺八寸七分一厘五毫。用甲午、癸酉景相减，癸巳、甲午景相减，如前推之，亦同。若以壬申、癸酉景相减为法，推之亦同。此取至前后十八九日景。
若用癸巳与甲戌景相减，以壬辰、癸巳景相减，推之，或癸巳、甲午景相减，推之，或用甲戌、癸酉景相减，推之，或甲戌、乙亥景相减，推之，或以壬辰、乙亥景相减，用壬辰、癸巳景相减，推之并同。此取至前后二十日景。
十月十六日庚寅，景七丈三尺一分五厘；十二月初三日丙子，景七丈三尺三寸二分；初四日丁丑，景七丈二尺八寸四分二厘五毫。用庚寅、丁丑景相减，以丙子、丁丑景相减，推之亦同。此取至前后二十三日景。
十月十四日戊子，景七丈一尺九寸二分二厘五毫；十五日己丑，景七丈二尺四寸六分九厘；十二月初五日戊寅，景七丈二尺二寸七分二厘五毫。用己丑、戊寅景相减，以戊子、己丑景相减，推之，或用己丑、庚寅相减，推之亦同。此取至前后二十四日景。
十月初七日辛巳，景六丈七尺七寸四分五厘；初八日壬午，景六丈八尺三寸七分二厘五毫；初九日癸未，景六丈八尺九寸七分七厘五毫；十二月十二日乙酉，景六丈八尺一寸四分五厘。用壬午、乙酉景相减，以辛巳、壬午相减，推之，壬午、癸未景相减，推之亦同。此取至前后三十一二日景。
十月乙亥朔，景六丈三尺八寸七分；十二月十八日辛卯，景六丈四尺二寸九分七厘五毫；十九日壬辰，景六丈三尺六寸二分五厘。用乙亥、壬辰景相减，以辛卯、壬辰景相减，推之亦同。此取至前后三十八日景。
九月二十二日丙寅，景五丈七尺八寸二分五厘；十二月二十八日辛丑，景五丈七尺五寸八分；二十九日壬寅，景五丈六尺九寸一分五厘。用丙寅、辛丑景相减，以辛丑、壬寅景相减，推之亦同。此取至前后四十七八日景。
九月二十日甲子，景五丈六尺四寸九分二厘五毫；至十二月二十九日壬寅，景五丈六尺九寸一分五厘；至十七年正月癸卯朔，景五丈六尺二寸五分。用甲子、癸卯相减，壬寅、癸卯景相减，推之亦同。此取至前后五十日景。
右以累年推测到冬夏二至时刻为准，定拟至元十八年辛巳岁前冬至，当在己未日夜半后六刻，即丑初一刻。
岁余岁差
周天之度，周岁之日，皆三百六十有五。全策之外，又有奇分，大率皆四分之一。自今岁冬至距来岁冬至，历三百六十五日，而日行一周，凡四周，历千四百六十，则余一日，析而四之，则四分之一也。然天之分常有余，岁之分常不足，其数有不能齐者，惟其所差至微，前人初未觉知。迨汉末刘洪，始觉冬至后天，谓岁周余分太强，乃作《乾象历》，减岁余分二千五百为二千四百六十二。至晋虞喜，宋何承天、祖冲之，谓岁当有差，因立岁差之法。其法损岁余，益天周，使岁余浸弱，天周浸强，强弱相减，因得日躔岁退之差。岁余、天周，二者实相为用，岁差由斯而立，日躔由斯而得，一或损益失当，讵能与天叶哉？
今自刘宋大明壬寅以来，凡测景验气得冬至时刻真数者有六，取相距积日时刻，以相距之年除之，各得其时所用岁余。复自大明壬寅距至元戊寅积日时刻，以相距之年除之，得每岁三百六十五日二十四分二十五秒，比《大明历》减去一十一秒，定为方今所用岁余。余七十五秒，用益所谓四分之一，共为三百六十五度二十五分七十五秒，定
为天周。余分强弱相减，余一分五十秒，用除全度，得六十六年有奇，日却一度，以六十六年除全度，适得一分五十秒，定为岁差。
复以《尧典》中星考之，其时冬至日在女、虚之交。及考之前史，汉元和二年，冬至日在斗二十一度；晋太元九年，退在斗十七度；宋元嘉十年，在斗十四度末；梁大同十年，在斗十二度；隋开皇十八年，犹在斗十二度；唐开元十二年，在斗九度半；今退在箕十度。取其距今之年、距今之度较之，多者七十余年，少者不下五十年，辄差一度。宋庆元间，改《统天历》，取大衍岁差率八十二年及开元所距之差五十五年，折取其中，得六十七年，为日却行一度之差。施之今日，质诸天道，实为密近。
然古今历法，合于今必不能通于古，密于古必不能验于今。今《授时历》，以之考古，则增岁余而损岁差；以之推来，则增岁差而损岁余；上推春秋以来冬至，往往皆合；下求方来，可以永久而无弊；非止密于今日而已。仍以《大衍》等六历，考验春秋以来冬至疏密，凡四十九事，具列如后。
冬至刻
《大衍》 《宣明》 《纪元》 《天》 《大明》 《授时》
献公十五年戊寅岁，正月甲寅朔旦冬至。
丙辰（22） 乙卯（88） 丁巳（33） 乙卯（2） 丁巳（35）甲寅（99）
僖公五年丙寅岁，正月辛亥朔旦冬至。
辛亥（94） 辛亥（66） 壬子（74） 辛亥（27） 壬子（89）辛亥（14）
昭公二十年己卯岁，正月己丑朔旦冬至。
己丑（45） 己丑（2） 庚寅（25） 戊子（92） 庚寅（29）戊子（83）
宋元嘉十二年乙亥岁，十一月十五日戊辰景长。
戊辰（35） 戊辰（32） 戊辰（39） 戊辰（51） 戊辰（41）戊辰（47）
元嘉十三年丙子岁，十一月二十六日甲戌景长。
癸酉（59） 癸酉（57） 癸酉（63） 癸酉（75） 癸酉（65）癸酉（71）
元嘉十五年戊寅岁，十一月十八日甲申景长。
甲申（8） 甲申（6） 甲申（十2） 甲申（24） 甲申（14）甲申（19）
元嘉十六年己卯岁，十月二十九日己丑景长。
己丑（33） 己丑（3） 己丑（37） 己丑（48） 己丑（37）己丑（44）
元嘉十七年庚辰岁，十一月初十日甲午景长。
甲午（57） 甲午（55） 甲午（61） 甲午（72） 甲午（63）甲午（68）
元嘉十八年辛巳岁，十一月二十一日己亥景长。
己亥（82） 己亥（79） 己亥（85） 己亥（97） 己亥（87）己亥（93）
元嘉十九年壬午岁，十一月初三日乙巳景长。
乙巳（6） 乙巳（4） 乙巳（十） 乙巳（21） 乙巳（11）乙巳（17）
大明五年辛丑岁，十一月乙酉冬至。
甲申（7） 甲申（68） 甲申（73） 甲申（89） 甲申（74）甲申（79）
陈天嘉六年乙酉岁，十一月庚寅景长。
庚寅（12） 庚寅（13） 庚寅（5） 庚寅（24） 庚寅（ 8）庚寅（17）
光大二年戊子岁，十一月乙巳景长。
乙巳（8） 乙巳（86） 乙巳（79） 乙巳（97） 乙巳（81）乙巳（ 9）
太建四年壬辰岁，十一月二十九日丁卯景长。
丙寅（83） 丙寅（78） 丙寅（77） 丙寅（95） 丙寅（98）丙寅（87）
太建六年甲午岁，十一月二十日丁丑景长。
丁丑（32） 丁丑（33） 丁丑（25） 丁丑（43） 丁丑（27）丁丑（36）
太建九年丁酉岁，十一月二十三日壬辰景长。
癸巳（4） 癸巳（6） 壬辰（99） 癸巳（16） 癸巳（空）癸巳（ 8）
太建十年戊戌岁，十一月五日戊戌景长。
戊戌（3） 戊戌（3） 戊戌（23） 戊戌（4） 戊戌（24）戊戌（33）
隋开皇四年甲辰岁，十一月十一日己巳景长。
己巳（77） 己巳（78） 己巳（69） 己巳（86） 己巳（71）己巳（86）
开皇五年乙巳岁，十一月二十二日乙亥景长。
乙亥（1） 乙亥（2） 甲戌（92） 乙亥（11） 甲戌（55）乙亥（10）
开皇六年丙午岁，十一月三日庚辰景长。
庚辰（25） 庚辰（26） 庚辰（18） 庚辰（34） 庚辰（19）庚辰（34）
开皇七年丁未岁，十一月十四日乙酉景长。
乙酉（5） 乙酉（51） 乙酉（42） 乙酉（59） 乙酉（44）乙酉（59）
开皇十一年辛亥岁，十一月二十八日丙午景长。
丙午（48） 丙午（49） 丙午（43） 丙午（57） 丙午（41）丙午（56）
开皇十四年甲寅岁，十一月辛酉朔旦冬至。
壬戌（21） 壬戌（22） 壬戌（13） 壬戌（ 3） 壬戌（14）壬戌（29）
唐贞观十八年甲辰岁，十一月乙酉景长。
甲申（43） 甲申（45） 甲申（31） 甲申（ 5） 甲申（32）甲申（44）
贞观二十三年己酉岁，十一月辛亥景长。
庚戌（65） 庚戌（68） 庚戌（53） 庚戌（72） 庚戌（54）庚戌（66）
龙朔二年壬戌岁，十一月四日己未至戊午景长。
戊午（83） 戊午（86） 戊午（69） 戊午（88） 戊午
（71）戊午（82）
仪凤元年丙子岁，十一月壬申景长。
壬申（25） 壬申（28） 壬申（10） 壬申（28） 壬申（12）壬申（22）
永淳元年壬午岁，十一月癸卯景长。
癸卯（72） 癸卯（75） 癸卯（57） 癸卯（76） 癸卯（58）癸卯（68）
开元十年壬戌岁，十一月癸酉景长。
癸酉（49） 癸酉（54） 癸酉（31） 癸酉（ 5） 癸酉（32）癸酉（46）
开元十一年癸亥岁，十一月戊寅景长。
戊寅（74） 戊寅（77） 戊寅（55） 戊寅（74） 戊寅（56）戊寅（ 7）
开元十二年甲子岁，十一月癸未冬至。
癸未（98） 甲申（3） 癸未（8） 癸未（99） 癸未（81）癸未（95）
宋景德四年丁未岁，十一月戊辰日南至。
戊辰（15） 戊辰（26） 丁卯（74） 丁卯（82） 丁卯（74）丁卯（ 8）
皇祐二年庚寅岁，十一月三十日癸丑景长。
癸丑（65） 癸丑（79） 癸丑（22） 癸丑（25） 癸丑（22）癸丑（23）
元丰六年癸亥岁，十一月丙午景长。
丙午（73） 丙午（85） 丙午（26） 丙午（27） 丙午（26）丙午（26）
元丰七年甲子岁，十一月辛亥景长。
辛亥（97） 壬子（10） 辛亥（5） 辛亥（51） 辛亥（ 5）辛亥（51）
元祐三年戊辰岁，十一月壬申景长。
壬申（94） 癸酉（8） 壬申（48） 壬申（48） 壬申（48）壬申（48）
元祐四年己巳岁，十一月丁丑景长。
戊寅（19） 戊寅（32） 丁丑（72） 丁丑（72） 丁丑（72）丁丑（72）
元祐五年庚午岁，十一月壬午冬至。
癸未（44） 癸未（56） 壬午（96） 壬午（97） 壬午（96）壬午（96）
元祐七年壬申岁，十一月癸巳冬至。
癸巳（92） 甲午（5） 癸巳（45） 癸巳（45） 癸巳（45）癸巳（45）
元符元年戊寅岁，十一月甲子冬至。
乙丑（39） 乙丑（52） 甲子（91） 甲子（91） 甲子（91）甲子（91）
崇宁三年甲申岁，十一月丙申冬至。
丙申（86） 丙申（99） 丙申（37） 丙申（36） 丙申（37）丙申（37）
绍熙二年辛亥岁，十一月壬申冬至。
癸酉（12） 癸酉（27） 壬申（57） 壬申（47） 壬申（57）壬申（46）
庆元三年丁巳岁，十一月癸卯日南至。
甲辰（59） 甲辰（74） 甲辰（ 3） 癸卯（92） 甲辰（ 3）癸卯（92）
嘉泰三年癸亥岁，十一月甲戌日南至。
丙子（5） 丙子（21） 乙亥（49） 乙亥（37） 乙亥（49）乙亥（37）
嘉定五年壬申岁，十一月壬戌日南至。
癸亥（25） 癸亥（41） 壬戌（69） 壬戌（56） 壬戌（68）壬戌（56）
绍定三年庚寅岁，十一月丙申日南至。
丁酉（65） 丁酉（83） 丁酉（ 7） 丙申（63） 丁酉（ 7）丙申（92）
淳祐十年庚戌岁，十一月辛巳日南至。
壬午（94） 壬午（71） 辛巳（96） 辛巳（77） 辛巳（94）辛巳（78）
本朝至元十七年庚辰岁，十一月己未夜半后六刻冬至。
己未（87） 庚申（ 5） 己未（25） 己未（ 4） 己未（24）己未（ 6）
右自春秋献公以来，凡二千一百六十余年，用《大衍》、《宣明》、《纪元》、《统天》、《大明》、《授时》六历推算冬至，凡四十九事。《大衍历》合者三十二，不合者十七；《宣明历》合者二十六，不合者二十三；《纪元历》合者三十五，不合者十四；《统天历》合者三十八，不合者十一；《大明历》合者三十四，不合者十五；《授时历》合者三十九，不合者十事。
今按献公十五年戊寅岁正月甲寅朔旦冬至，《授时历》得甲寅，《统天历》得乙卯，后天一日；至僖公五年丙寅岁正月辛亥朔旦冬至，《授时》、《统天》皆得辛亥，与天合；下至昭公二十年己卯岁正月己丑朔旦冬至，《授时》、《统天》皆得戊子，并先一日，若曲变其法以从之，则献公、僖公皆不合矣。以此知《春秋》所书昭公冬至，乃日度失行之验。一也。《大衍历》考古冬至，谓刘宋元嘉十三年丙子岁十一月甲戌日南至，《大衍》与《皇极》、《麟德》三历皆得癸酉，各先一日，乃日度失行，非三历之差。今以《授时历》考之，亦得癸酉。二也。大明五年辛丑岁十一月乙酉冬至，诸历皆得甲申，殆亦日度之差。三也。陈太建四年壬辰岁十一月丁卯景长，《大衍》、《授时》皆得丙寅，是先一日；太建九年丁酉岁十一月壬辰景长，《大衍》、《授时》皆得癸巳，是后一日；一失之先，一失之后，若合于壬辰，则差于丁酉，合于丁酉，则差于壬辰，亦日度失行之验。五也。开皇十一年辛亥岁十一月丙午景长，《大衍》、《统天》、《授时》皆得丙午，与天合；至开皇十四年甲寅岁十一月辛酉冬至，而《大衍》、《统天》、《授时》皆得壬戌，若合于辛亥，则失于甲寅，合于甲寅，则失于辛亥，其开皇十四年甲寅岁冬至，亦日度失行。六也。唐贞观十八年甲辰岁十一月乙酉景长，诸历得甲申
子信积候合蚀加时，觉日行有入气差，然损益未得其正。
赵道严复准晷景长短，定日行进退，更造盈缩以求亏食。
至刘焯立躔度，与四序升降，虽损益不同，后代祖述用之。
夫阴阳往来，驯积而变，冬至日行一度强，出赤道二十四度弱，自此日轨渐北，积八十八日九十一分，当春分前三日，交在赤道，实行九十一度三十一分而适平。
自后其盈日损，复行九十三日七十一分，当夏至之日，入赤道内二十四度弱，实行九十一度三十一分，日行一度弱，向之盈分尽损而无余。
自此日轨渐南，积九十三日七十一分，当秋分后三日，交在赤道，实行九十一度三十一分而复平。
自后其缩日损，行八十八日九十一分，出赤道外二十四度弱，实行九十一度三十一分，复当冬至，向之缩分尽损而无余。
盈缩均有损益，初为益，末为损。
自冬至以及春分，春分以及夏至，日躔自北陆转而西，西而南，于盈为益，益极而损，损至于无余而缩。
自夏至以及秋分，秋分以及冬至，日躔自南陆转而东，东而北，于缩为益，益极而损，损至于无余而复盈。
盈初缩末，俱八十八日九十一分而行一象；缩初盈末，俱九十三日七十一分而行一象；盈缩极差，皆二度四十分。
由实测晷景而得，仍以算术推考，与所测允合。
月行迟疾
古历谓月平行十三度十九分度之七。
汉耿寿昌以为日月行至牵牛、东井，日过度，月行十五度，至娄、角，始平行，赤道使然。
贾逵以为今合朔、弦、望、月食加时，所以不中者，盖不知月行迟疾意。
李梵、苏统皆以月行当有迟疾，不必在牵牛、东井、娄、角之间，乃由行道有远近出入所生。
刘洪作《乾象历》，精思二十余年，始悟其理，列为差率，以囿进退损益之数。
后之作历者，咸因之。
至唐一行，考九道委蛇曲折之数，得月行疾徐之理。
先儒谓月与五星，皆近日而疾，远日而迟。
历家立法，以入转一周之日，为迟疾二历，各立初末二限，初为益，末为损。
在疾初迟末，其行度率过于平行；迟初疾末，率不及于平行。
自入转初日行十四度半强，从是渐杀，历七日，适及平行度，谓之疾初限，其积度比平行余五度四十二分。
自是其疾日损，又历七日，行十二度微强，向之益者尽损而无余，谓之疾末限。
自是复行迟度，又历七日，适及平行度，谓之迟初限，其积度比平行不及五度四十二分。
自此其迟日损，行度渐增，又历七日，复行十四度半强，向之益者亦损而无余，谓之迟末限。
入转一周，实二十七日五十五刻四十六分，迟疾极差皆五度四十二分。
旧历日为一限，皆用二十八限。
今定验得转分进退时各不同，今分日为十二，共三百三十六限，半之为半周限，析而四之为象限。
白道交周
当二极南北之中，横络天体以纪宿度者，赤道也。
出入赤道，为日行之轨者，黄道也。
所谓白道，与黄道交贯，月行之所由也。
古人随方立名，分为八行，与黄道而九，究而言之，其实一也。
惟其随交迁徙，变动不居，故强以方色名之。
月道出入日道，两相交值，当朔则日为月所掩，当望则月为日所冲，故皆有食。
然涉交有远近，食分有深浅，皆可以数推之。
所谓交周者，月道出入日道一周之日也。
日道距赤道之远，为度二十有四。
月道出入日道，不逾六度；其距赤道也，远不过三十度，近不下十八度。
出黄道外为阳，入黄道内为阴，阴阳一周，分为四象。
月当黄道为正交，出黄道外六度为半交，复当黄道为中交，入黄道内六度为半交，是为四象。
象别七日，各行九十一度，四象周历，是谓一交之终，以日计之，得二十七日二十一刻二十二分二十四秒。
每一交，退天一度二百分度之九十三，凡二百四十九交，退天一周有奇，终而复始。
正交在春正，半交出黄道外六度，在赤道内十八度。
正交在秋正，半交出黄道外六度，在赤道外三十度。
中交在春正，半交入黄道内六度，在赤道内三十度。
中交在秋正，半交入黄道内六度，在赤道外十八度。
月道与赤道正交，距春秋二正黄赤道正交宿度，东西不及十四度三分度之二。
夏至在阴历内，冬至在阳历外，月道与赤道所差者多；夏至在阳历外，冬至在阴历内，月道与赤道所差者少。
盖白道二交，有斜有直，阴阳二历，有内有外，直者密而狭，斜者疏而阔，其差亦从而异。
今立象置法求之，差数多者不过三度五十分，少者不下一度三十分，是为月道与赤道多少之差。
昼夜刻
日出为昼，日入为夜，昼夜一周，共为百刻。
以十二辰分之，每辰得八刻三分刻之一。
无间南北，所在皆同。
昼短则夜长，夜短则昼长，此自然之理也。
春秋二分，日当赤道出入，昼夜正等，各五十刻。
自春分以及夏至，日入赤道内，去极浸近，夜短而昼长。
自秋分以及冬至，日出赤道外，去极浸远，昼短而夜长。
以地中揆之，长不过六十刻，短不过四十刻。
地中以南，夏至去日出入之所为远，其长有不及六十刻者；冬至去日出入之所为近，其短有不止四十刻者。
地中以北，夏至去日出入之所为近，其长有不止六十刻者；冬至去日出入之所为远，其短有不及四十刻者。
今京师冬至日出辰初二刻，日入申正二刻，故昼刻三十八，夜刻六十二；夏至日出寅正二刻，日入戌初二刻，故昼刻六十二，夜刻三十八。
盖地有南北，极有高下，日出入有早晏，所以不同耳。
今《授
时历》昼夜刻，一以京师为正，
其各所实测北极高下，具见《天文志》。
泰始明昌国文-古籍-元史-志-卷五-译文
◎历一
自古以来，明君治理国家时，从黄帝、尧、舜到三代的圣王，无不重视历法，相关的记载在传记中都有详细的描述。虽然距离古代已经很遥远，历法的具体内容已不详细，但究其根本，不过是根据实际情况进行验证，以符合天象而已。汉代的刘歆编写了《三统历》，首次确立了积年日法，作为推算的依据。后世沿用这一方法，历经唐朝和宋朝，修改历法和纪元的人多达数十家，难道他们故意互相背离吗？这是因为天象的运行并不完全一致，而历法却是固定的规则，所以时间久了必然会出现偏差，一旦出现偏差就必须进行修正。
元朝初期沿用了金朝的《大明历》，庚辰年，太祖西征时，五月的月食没有如期出现；二月和五月的朔日，微弱的月亮出现在西南方。中书令耶律楚材认为《大明历》已经落后于天象，于是减少了节气的分秒，缩短了周天的秒数，去除了交终的比率，调整了月转的余数，考察日月运行的先后，调节五行的出没，以纠正《大明历》的错误。并且以中元庚午年，国家军队南征，天下基本平定，推算出上元庚午年天正十一月壬戌朔日，子正冬至，日月合璧，五星联珠，同时出现在虚宿六度，以应验太祖受命的征兆。又因为西域和中原的地理距离遥远，创造了里差来增减，即使东西相距万里，也不会再有误差。于是将其命名为《西征庚午元历》，并上表呈报，但最终没有颁布使用。
至元四年，西域的札马鲁丁编写了《万年历》，世祖稍微颁布使用。十三年，平定宋朝后，世祖下令前中书左丞许衡、太子赞善王恂、都水少监郭守敬修改制定新的历法。许衡等人认为金朝虽然修改了历法，但只是对宋朝的《纪元历》稍作调整，实际上并没有进行天象的实测，于是与南北的日官陈鼎臣、邓元麟、毛鹏翼、刘巨渊、王素、岳铉、高敬等人参考了历代历法，重新观测日月星辰的运行变化，比较异同，取其中间值，作为历法的基础。十七年冬至，新历完成，世祖赐名为《授时历》。十八年，颁布全国使用。二十年，世祖命太子谕德李谦撰写《历议》，阐明新历顺应天象、追求精准的微妙之处，考证前代人为附会的错误，确实可以流传永久，自古至今，其推算的精确性，恐怕没有超过它的。如今许衡、王恂、郭守敬等人编写的《历经》以及李谦的《历议》仍然保存，都可以作为考证的依据，因此详细记录在此。只有《万年历》不再流传，而《庚午元历》虽然未曾颁布使用，但其书仍然存在，因此附在后面，供后人参考。作《历志》。
授时历议上
验气
天道的运行，如同一个没有尽头的环，制定历法的人必须在阴阳消长之际，作为立法的起点。阴阳消长的关键，如何观察呢？只有通过观察日晷的进退，才能捕捉到它的变化。观察的方法，不过是立表测影，以探究节气到来的时刻。前人的智慧和方法已经基本完备，如果能深入思考、仔细研究，心与理相通，那么在前人的基础上，未必不能有所创新。
旧的方法选择平坦的地面，设置水准和绳墨，立表于其中，以测量日影。然而表较短，尺寸之下的分秒、半、少等细微差别，难以区分。表较长，则分寸稍长，但缺点是影子虚淡，难以得到真实的影子。前人试图在虚影中寻找真实的影子，有的设置望筒，有的放置小表，有的用木头做成规，都是利用表端日光照射到圭面上。现在用铜做表，高三十六尺，顶端装饰有二龙，举一横梁，下至圭面，共四十尺，相当于五个八尺的表。圭表上刻有尺寸，旧的一寸，现在扩展为五寸，厘毫的差别容易分辨。另外创造了景符，以获取真实的影子。其制作方法是用铜片，宽二寸，长度是宽度的两倍，中间穿一个小孔，像针尖一样，以方跂为底座，一端设有机轴，使其可以开合，支撑一端，使其倾斜，北高南下，在虚影中来回调整，小孔透过的日光，只有米粒大小，隐约可见横梁在其中。旧的方法用表端测量日影，得到的是日体上边的影子，现在用横梁测量，得到的是中间的影子，不会有丝毫的误差。
地中八尺表的影子，冬至时长一丈三尺有余，夏至时一尺五寸。如今京城的长表，冬至时的影子长七丈九尺八寸有余，相当于八尺表的一丈五尺九寸六分；夏至时的影子长一丈一尺七寸有余，相当于八尺表的二尺三寸四分。虽然影子的长短因地而异，但影子长时为冬至，影子短时为夏至，这一点是相同的。只是节气到来的时刻难以准确推算，因为冬至时气正，一年的节气也随之正了。刘宋时期的祖冲之曾取冬至前后二十三四天的影子，折中取其中间值，定为冬至，并且通过日差比较，推算出具体时刻。宋皇祐年间，周琮则取立冬、立春两天的影子，认为距离冬至较远，日差较多，容易推算。《纪元》以后的历法，方法更加详细，但大致不出祖冲之的方法。新历经过长时间的实测，从远日到近日，取前后日率相近的，比较异同，并非只取一两天的影子，而是以多数为准，实际上比《大明历》减少了十九刻二十分。仍然根据多年的实测日差分寸，拟定冬至和夏至的时刻在后面。
推算至元十四年丁丑岁冬至
这一年十一月十四日己亥，影子长七丈九尺四寸八分五厘五毫；到二十一日丙午，影子长七丈九尺五寸四分一厘；二十二日丁未，影子长七丈九尺四寸五分五厘。用己亥、丁未两天的影子相比较，余三分五毫为晷差，进两位；用丙午、丁未两天的影子相比较，余八分六厘为法；相除，得三十五刻；用减去相距日的八百刻，余七百六十五刻；折中取其中间值，加上半日刻，共为四百三十二刻半；百约为日，得四日；余数乘以十二，百约为时，得三时，满五十再作一时，共得四时；余数以十二收之，得三刻；从己亥日起算，得癸卯日辰初三刻为丁丑岁冬至。这是取冬至前后四天的影子。
十一月初九日甲午，影子长七丈八尺六寸三分五厘五毫；到二十六日辛亥，影子长七丈八尺七寸九分三厘五毫；二十七日壬子，影子长七丈八尺五寸五分。用甲午、壬子两天的影子相减，再用辛亥、壬子两天的影子相减，按照前面的方法计算，也得到癸卯日辰初三刻。到二十八日癸丑，影子长七丈八尺三寸四厘五毫，用壬子、癸丑两天的影子与甲午的影子，按照前面的方法计算，也符合。这是取冬至前后八九天的影子。
十一月丙戌朔日，影子长七丈五尺九寸八分六厘五毫；二日丁亥，影子长七丈六尺三寸七分七厘；到十二月初六日庚申，影子长七丈五尺八寸五分一厘。按照前面的方法计算，也在辰初三刻。这是取冬至前后十七天的影子。
十月二十一日
丙子日，日影长度为七丈九寸七分一厘；到十二月十六日庚午，日影长度为七丈七寸六分；十七日辛未，日影长度为七丈一寸五分六厘五毫。按照之前的方法计算，也得到了辰初三刻。这是取冬至前后二十七天的日影。
六月初五日癸亥，日影长度为一丈三尺八分；距离十五年五月初一癸未，日影长度为一丈三尺三分八厘五毫；初二日甲申，日影长度为一丈二尺九寸二分五毫。按照之前的方法计算，结果也符合。这是取冬至前后一百六十天的日影。
推算十五年戊寅年的夏至
五月十九日辛丑，日影长度为一丈一尺七分七厘五毫；距离二十八日庚戌，日影长度为一丈一尺七寸八分；二十九日辛亥，日影长度为一丈一尺八寸五厘五毫。用辛丑、庚戌两天的日影相减，得到二厘五毫，进位两位作为被除数；再用庚戌、辛亥的日影相减，得到二分五厘五毫作为除数；相除，得到九刻，用九百刻减去，剩下八百九十一刻；除以二，加上半日刻，再除以一百，得到四日；剩下的乘以十二，再除以一百，得到十一时；剩下的再乘以十二，得到三刻；从辛丑日开始计算，得到乙巳日亥正三刻为夏至。这是取冬至前后四天的日影。
十四年十二月十五日己巳，日影长度为七丈一尺三寸四分三厘；距离十五年十一月初二日辛巳，日影长度为七丈七寸五分九厘五毫；初三日壬午，日影长度为七丈一尺四寸六厘。用己巳、壬午的日影相减，再用辛巳、壬午的日影相减，结果也符合。这是取冬至前后一百五十六天的日影。
十四年十二月十二日丙寅，日影长度为七丈二尺九寸七分二厘五毫；十三日丁卯，日影长度为七丈二尺四寸五分四厘五毫；十四日戊辰，日影长度为七丈一尺九寸九厘；距离十五年十一月初四日癸未，日影长度为七丈一尺九寸五分七厘五毫；初五日甲申，日影长度为七丈二尺五寸五厘；初六日乙酉，日影长度为七丈三尺三分三厘五毫。前后互相取日影，所得的时刻都符合。这是取冬至前后一百五十八九天的日影。
十四年十二月初七日辛酉，日影长度为七丈五尺四寸一分七厘；初八日壬戌，日影长度为七丈四尺九寸五分九厘五毫；初九日癸亥，日影长度为七丈四尺四寸八分六厘；距离十五年十一月初九日戊子，日影长度为七丈四尺五寸二分五毫；初十日己丑，日影长度为七丈五尺三厘五毫；十一日庚寅，日影长度为七丈五尺四寸四分九厘五毫。用壬戌、己丑的日影相减作为被除数，用辛酉、壬戌的日影相减作为除数，相除；或者用壬戌、癸亥的日影相减，或者用戊子、己丑的日影相减，或者用己丑、庚寅的日影相减，按照之前的方法计算，结果都符合。这是取冬至前后一百六十三四天的日影。
推算十五年戊寅年的冬至
这一年十一月十九日戊戌，日影长度为七丈八尺三寸一分八厘五毫；距离闰十一月初九日戊午，日影长度为七丈八尺三寸六分三厘五毫；初十日己未，日影长度为七丈八尺八分二厘五毫。用戊戌、戊午两天的日影相减，得到四分五厘作为晷差，进位两位，再用戊午、己未的日影相减，得到二寸八分一厘作为除数，相除，得到十六刻，加上两千刻，除以二，加上半日刻，再除以一百，得到十日；剩下的乘以十二，再除以一百，得到七时；剩下的再乘以十二，得到刻数；从己亥日开始计算，得到戊申日未初三刻为戊寅年的冬至。这是取冬至前后十天的日影。
十一月十二日辛卯，日影长度为七丈五尺八寸八分一厘五毫；十三日壬辰，日影长度为七丈六尺三寸一厘五毫；闰十一月十五日甲子，日影长度为七丈六尺三寸六分六厘五毫；十六日乙丑，日影长度为七丈五尺九寸五分三厘；十七日丙寅，日影长度为七丈五尺五寸四厘五毫。用壬辰、甲子的日影相减作为被除数，用辛卯、壬辰的日影相减作为除数，相除，也得到了戊申日未初三刻。或者用甲子、乙丑的日影相减，推算，结果也符合。如果用辛卯、乙丑的日影相减作为被除数，用乙丑、丙寅的日影相减作为除数，相除，结果也相同。这是取冬至前后十六七天的日影。
十一月初八日丁亥，日影长度为七丈四尺三分七厘五毫；闰十一月二十日己巳，日影长度为七丈四尺一寸二分；二十一日庚午，日影长度为七丈三尺六寸一分四厘五毫。用丁亥、己巳的日影相减作为被除数，用己巳、庚午的日影相减作为除数，相除，结果也相同。这是取冬至前后二十一天的日影。
六月二十六日戊寅，日影长度为一丈四尺四寸五分二厘五毫；二十七日己卯，日影长度为一丈四尺六寸三分八厘；到十六年四月二日戊寅，日影长度为一丈四尺四寸八分一厘。用两个戊寅日的日影相减，再用后戊寅、己卯的日影相减，推算，结果也相同。这是取冬至前后一百五十天的日影。
五月二十八日庚戌，日影长度为一丈一尺七寸八分；到十六年四月二十九日乙巳，日影长度为一丈一尺八寸六分三厘；三十日丙午，日影长度为一丈一尺七寸八分三厘。用庚戌、丙午的日影相减，再用乙巳、丙午的日影相减，推算，结果也相同。这是取冬至前后一百七十八天的日影。
推算十六年己卯年的夏至
四月十九日乙未，日影长度为一丈二尺三寸六分九厘五毫；二十日丙申，日影长度为一丈二尺二寸九分三厘五毫；到五月十九日乙丑，日影长度为一丈二尺二寸六分四厘。用丙申、乙丑的日影相减，得到二分九厘五毫作为晷差，进位两位；用乙未、丙申的日影相减，得到七分六厘作为除数；相除，得到三十八刻；加上二千九百刻，除以二，加上半日刻，再除以一百，得到十五日；剩下的乘以十二，再除以一百，得到二时；剩下的再乘以十二，得到二刻；从丙申日开始计算，得到辛亥日寅正二刻为夏至。这是取冬至前后十五天的日影。
三月二十一日戊辰，日影长度为一丈六尺三寸九分五毫；六月十六日壬辰，日影长度为一丈六尺九分九厘五毫；十七日癸巳，日影长度为一丈六尺三寸一分一厘。用戊辰、癸巳的日影相减，再用壬辰、癸巳的日影相减，按照之前的方法推算，结果也符合。这是取冬至前后四十二天的日影。
三月初二日己酉，日影长度为二丈一尺三寸五厘；到七月初七日壬子，日影长度为二丈一尺一寸九分五厘五毫；初八日癸丑，日影长度为二丈一尺四寸八分六厘五毫。用己酉、壬子的日影相减，再用壬子、癸丑的日影相减，按照之前的方法推算，结果也符合。这是取冬至前后六十一二天的日影。
三月初一戊申，日影长度为二丈一尺六寸一分一厘；到七月初八日癸丑，日影长度为二丈一尺四寸八分六厘五毫；
初九日甲寅，影长为二丈一尺九寸一分五厘五毫。用戊申日和癸丑日的影长相减，再用癸丑日和甲寅日的影长相减，按照之前的方法推算，结果相同。这是取冬至前后六十二三天的影长。
二月十八日乙未，影长为二丈六尺三分四厘五毫；到七月二十一日丙寅，影长为二丈五尺八寸九分九厘；二十二日丁卯，影长为二丈六尺二寸五分九厘。用乙未日和丙寅日的影长相减，再用丙寅日和丁卯日的影长相减，按照之前的方法推算，结果相同。这是取冬至前后七十五六天的影长。
二月三日庚辰，影长为三丈二尺一寸九分五厘五毫；到八月初五日庚辰，影长为三丈一尺五寸九分六厘五毫；初六日辛巳，影长为三丈二尺二分六厘五毫。用前庚辰日和辛巳日的影长相减，再用后庚辰日和辛巳日的影长相减，按照之前的方法推算，结果相同。这是取冬至前后九十天的影长。
正月十九日丁卯，影长为三丈八尺五寸一厘五毫；到八月十八日癸巳，影长为三丈七尺八寸二分三厘；十九日甲午，影长为三丈八尺三寸一分五毫。用丁卯日和甲午日的影长相减，再用癸巳日和甲午日的影长相校，按照之前的方法推算，结果相同。这是取冬至前后一百三四天的影长。
推算十六年己卯岁冬至
十月二十四日戊戌，影长为七丈六尺七寸四分；到十一月二十五日己巳，影长为七丈六尺五寸八分；二十六日庚午，影长为七丈六尺一寸四分二厘五毫。用戊戌日和己巳日的影长相减，剩余一寸六分为晷差，进二位；用己巳日和庚午日的影长相减，剩余四寸三分七厘五毫为法；除以晷差，得到三十六刻；用相减的日数三千一百刻，剩余三千六十四刻；取一半，加五十刻，百约，得到十五日；剩余用十二乘之，百约为时，满五十，再进一时，共得十时；剩余用十二收之为刻，得到二刻；从戊戌日起算，得到癸丑日戌初二刻冬至。这是取冬至前后十五六天的影长。
十月十八日壬辰，影长为七丈四尺五分二厘五毫；十九日癸巳，影长为七丈四尺五寸四分五厘；二十日甲午，影长为七丈五尺二分五厘；到十一月二十八日壬申，影长为七丈五尺三寸二分；二十九日癸酉，影长为七丈四尺八寸五分二厘五毫；十二月甲戌朔，影长为七丈四尺三寸六分五厘；初二日乙亥，影长为七丈三尺八寸七分一厘五毫。用甲午日和癸酉日的影长相减，再用癸巳日和甲午日的影长相减，按照之前的方法推算，结果相同。如果用壬申日和癸酉日的影长相减为法，推算结果也相同。这是取冬至前后十八九天的影长。
如果用癸巳日和甲戌日的影长相减，再用壬辰日和癸巳日的影长相减，推算，或者用癸巳日和甲午日的影长相减，推算，或者用甲戌日和癸酉日的影长相减，推算，或者用甲戌日和乙亥日的影长相减，推算，或者用壬辰日和乙亥日的影长相减，再用壬辰日和癸巳日的影长相减，推算结果都相同。这是取冬至前后二十天的影长。
十月十六日庚寅，影长为七丈三尺一分五厘；十二月初三日丙子，影长为七丈三尺三寸二分；初四日丁丑，影长为七丈二尺八寸四分二厘五毫。用庚寅日和丁丑日的影长相减，再用丙子日和丁丑日的影长相减，推算结果相同。这是取冬至前后二十三天的影长。
十月十四日戊子，影长为七丈一尺九寸二分二厘五毫；十五日己丑，影长为七丈二尺四寸六分九厘；十二月初五日戊寅，影长为七丈二尺二寸七分二厘五毫。用己丑日和戊寅日的影长相减，再用戊子日和己丑日的影长相减，推算，或者用己丑日和庚寅日的影长相减，推算结果也相同。这是取冬至前后二十四天的影长。
十月初七日辛巳，影长为六丈七尺七寸四分五厘；初八日壬午，影长为六丈八尺三寸七分二厘五毫；初九日癸未，影长为六丈八尺九寸七分七厘五毫；十二月十二日乙酉，影长为六丈八尺一寸四分五厘。用壬午日和乙酉日的影长相减，再用辛巳日和壬午日的影长相减，推算，壬午日和癸未日的影长相减，推算结果也相同。这是取冬至前后三十一二天的影长。
十月乙亥朔，影长为六丈三尺八寸七分；十二月十八日辛卯，影长为六丈四尺二寸九分七厘五毫；十九日壬辰，影长为六丈三尺六寸二分五厘。用乙亥日和壬辰日的影长相减，再用辛卯日和壬辰日的影长相减，推算结果相同。这是取冬至前后三十八天的影长。
九月二十二日丙寅，影长为五丈七尺八寸二分五厘；十二月二十八日辛丑，影长为五丈七尺五寸八分；二十九日壬寅，影长为五丈六尺九寸一分五厘。用丙寅日和辛丑日的影长相减，再用辛丑日和壬寅日的影长相减，推算结果相同。这是取冬至前后四十七八天的影长。
九月二十日甲子，影长为五丈六尺四寸九分二厘五毫；到十二月二十九日壬寅，影长为五丈六尺九寸一分五厘；到十七年正月癸卯朔，影长为五丈六尺二寸五分。用甲子日和癸卯日的影长相减，再用壬寅日和癸卯日的影长相减，推算结果相同。这是取冬至前后五十天的影长。
以上以多年推测的冬夏二至时刻为准，拟定至元十八年辛巳岁前冬至，应在己未日夜半后六刻，即丑初一刻。
岁余岁差
周天的度数和周年的日数，都是三百六十五度。全策之外，还有奇分，大约都是四分之一。从今年冬至到明年冬至，经过三百六十五天，而太阳运行一周，共四周，经过一千四百六十天，则剩余一天，分成四份，则每份为四分之一。然而天的分度常有剩余，年的分度常不足，其数不能完全相等，只是其差异非常微小，前人最初并未察觉。直到汉末刘洪，才发觉冬至后天，认为岁周余分太强，于是作《乾象历》，将岁余分从二千五百减为二千四百六十二。到晋代虞喜，宋代何承天、祖冲之，认为岁应有差，于是设立岁差之法。其方法是减少岁余，增加天周，使岁余逐渐减弱，天周逐渐增强，强弱相减，从而得到日躔岁退的差异。岁余和天周，二者实际上是相互作用的，岁差由此而立，日躔由此而得，一旦增减失当，怎能与天相合呢？
如今自刘宋大明壬寅年以来，共有六次通过测量影长和验气得到冬至时刻的真实数据，取相距的积日时刻，用相距的年数除之，分别得到当时所用的岁余。再从大明壬寅年到至元戊寅年的积日时刻，用相距的年数除之，得到每年三百六十五日二十四分二十五秒，比《大明历》减去十一秒，定为现今所用的岁余。剩余七十五秒，用来增加所谓的四分之一，共为三百六十五度二十五分七十五秒，定
为了计算天体的周期，我们减去余分的强弱，得到一分五十秒的余数，用这个余数除以整个周期，得到六十六年多一点，每天退一度。用六十六年除以整个周期，正好得到一分五十秒，这就是岁差。
再根据《尧典》中的星象来考证，当时冬至日位于女宿和虚宿之间。通过考证历史，汉朝元和二年，冬至日位于斗宿二十一度；晋朝太元九年，退到斗宿十七度；宋朝元嘉十年，位于斗宿十四度末；梁朝大同十年，位于斗宿十二度；隋朝开皇十八年，仍然在斗宿十二度；唐朝开元十二年，位于斗宿九度半；现在退到箕宿十度。比较这些年份和度数，多的有七十多年，少的不少于五十年，每差一度。宋朝庆元年间，修改《统天历》，采用大衍岁差率八十二年和开元年间相差的五十五年，取其中间值，得到六十七年，作为每天退一度的岁差。应用到今天，验证天道的规律，确实非常接近。
然而，古代的历法适用于今天，未必能适用于古代；适用于古代的历法，未必能验证今天的情况。现在的《授时历》，用来考证古代，会增加岁余而减少岁差；用来推算未来，会增加岁差而减少岁余；向上推算春秋以来的冬至日，往往都能吻合；向下推算未来，可以长久使用而没有弊端；不仅仅适用于今天。仍然用《大衍》等六种历法，考证春秋以来冬至日的疏密，共有四十九件事，具体列在后面。
冬至时刻
《大衍》 《宣明》 《纪元》 《天》 《大明》 《授时》
献公十五年戊寅岁，正月甲寅朔旦冬至。
丙辰（22） 乙卯（88） 丁巳（33） 乙卯（2） 丁巳（35）甲寅（99）
僖公五年丙寅岁，正月辛亥朔旦冬至。
辛亥（94） 辛亥（66） 壬子（74） 辛亥（27） 壬子（89）辛亥（14）
昭公二十年己卯岁，正月己丑朔旦冬至。
己丑（45） 己丑（2） 庚寅（25） 戊子（92） 庚寅（29）戊子（83）
宋元嘉十二年乙亥岁，十一月十五日戊辰景长。
戊辰（35） 戊辰（32） 戊辰（39） 戊辰（51） 戊辰（41）戊辰（47）
元嘉十三年丙子岁，十一月二十六日甲戌景长。
癸酉（59） 癸酉（57） 癸酉（63） 癸酉（75） 癸酉（65）癸酉（71）
元嘉十五年戊寅岁，十一月十八日甲申景长。
甲申（8） 甲申（6） 甲申（十2） 甲申（24） 甲申（14）甲申（19）
元嘉十六年己卯岁，十月二十九日己丑景长。
己丑（33） 己丑（3） 己丑（37） 己丑（48） 己丑（37）己丑（44）
元嘉十七年庚辰岁，十一月初十日甲午景长。
甲午（57） 甲午（55） 甲午（61） 甲午（72） 甲午（63）甲午（68）
元嘉十八年辛巳岁，十一月二十一日己亥景长。
己亥（82） 己亥（79） 己亥（85） 己亥（97） 己亥（87）己亥（93）
元嘉十九年壬午岁，十一月初三日乙巳景长。
乙巳（6） 乙巳（4） 乙巳（十） 乙巳（21） 乙巳（11）乙巳（17）
大明五年辛丑岁，十一月乙酉冬至。
甲申（7） 甲申（68） 甲申（73） 甲申（89） 甲申（74）甲申（79）
陈天嘉六年乙酉岁，十一月庚寅景长。
庚寅（12） 庚寅（13） 庚寅（5） 庚寅（24） 庚寅（ 8）庚寅（17）
光大二年戊子岁，十一月乙巳景长。
乙巳（8） 乙巳（86） 乙巳（79） 乙巳（97） 乙巳（81）乙巳（ 9）
太建四年壬辰岁，十一月二十九日丁卯景长。
丙寅（83） 丙寅（78） 丙寅（77） 丙寅（95） 丙寅（98）丙寅（87）
太建六年甲午岁，十一月二十日丁丑景长。
丁丑（32） 丁丑（33） 丁丑（25） 丁丑（43） 丁丑（27）丁丑（36）
太建九年丁酉岁，十一月二十三日壬辰景长。
癸巳（4） 癸巳（6） 壬辰（99） 癸巳（16） 癸巳（空）癸巳（ 8）
太建十年戊戌岁，十一月五日戊戌景长。
戊戌（3） 戊戌（3） 戊戌（23） 戊戌（4） 戊戌（24）戊戌（33）
隋开皇四年甲辰岁，十一月十一日己巳景长。
己巳（77） 己巳（78） 己巳（69） 己巳（86） 己巳（71）己巳（86）
开皇五年乙巳岁，十一月二十二日乙亥景长。
乙亥（1） 乙亥（2） 甲戌（92） 乙亥（11） 甲戌（55）乙亥（10）
开皇六年丙午岁，十一月三日庚辰景长。
庚辰（25） 庚辰（26） 庚辰（18） 庚辰（34） 庚辰（19）庚辰（34）
开皇七年丁未岁，十一月十四日乙酉景长。
乙酉（5） 乙酉（51） 乙酉（42） 乙酉（59） 乙酉（44）乙酉（59）
开皇十一年辛亥岁，十一月二十八日丙午景长。
丙午（48） 丙午（49） 丙午（43） 丙午（57） 丙午（41）丙午（56）
开皇十四年甲寅岁，十一月辛酉朔旦冬至。
壬戌（21） 壬戌（22） 壬戌（13） 壬戌（ 3） 壬戌（14）壬戌（29）
唐贞观十八年甲辰岁，十一月乙酉景长。
甲申（43） 甲申（45） 甲申（31） 甲申（ 5） 甲申（32）甲申（44）
贞观二十三年己酉岁，十一月辛亥景长。
庚戌（65） 庚戌（68） 庚戌（53） 庚戌（72） 庚戌（54）庚戌（66）
龙朔二年壬戌岁，十一月四日己未至戊午景长。
戊午（83） 戊午（86） 戊午（69） 戊午（88） 戊午
（71）戊午（82）
仪凤元年丙子岁，十一月壬申日，日影最长。
壬申（25） 壬申（28） 壬申（10） 壬申（28） 壬申（12）壬申（22）
永淳元年壬午岁，十一月癸卯日，日影最长。
癸卯（72） 癸卯（75） 癸卯（57） 癸卯（76） 癸卯（58）癸卯（68）
开元十年壬戌岁，十一月癸酉日，日影最长。
癸酉（49） 癸酉（54） 癸酉（31） 癸酉（ 5） 癸酉（32）癸酉（46）
开元十一年癸亥岁，十一月戊寅日，日影最长。
戊寅（74） 戊寅（77） 戊寅（55） 戊寅（74） 戊寅（56）戊寅（ 7）
开元十二年甲子岁，十一月癸未日，冬至。
癸未（98） 甲申（3） 癸未（8） 癸未（99） 癸未（81）癸未（95）
宋景德四年丁未岁，十一月戊辰日，太阳到达最南点。
戊辰（15） 戊辰（26） 丁卯（74） 丁卯（82） 丁卯（74）丁卯（ 8）
皇祐二年庚寅岁，十一月三十日癸丑日，日影最长。
癸丑（65） 癸丑（79） 癸丑（22） 癸丑（25） 癸丑（22）癸丑（23）
元丰六年癸亥岁，十一月丙午日，日影最长。
丙午（73） 丙午（85） 丙午（26） 丙午（27） 丙午（26）丙午（26）
元丰七年甲子岁，十一月辛亥日，日影最长。
辛亥（97） 壬子（10） 辛亥（5） 辛亥（51） 辛亥（ 5）辛亥（51）
元祐三年戊辰岁，十一月壬申日，日影最长。
壬申（94） 癸酉（8） 壬申（48） 壬申（48） 壬申（48）壬申（48）
元祐四年己巳岁，十一月丁丑日，日影最长。
戊寅（19） 戊寅（32） 丁丑（72） 丁丑（72） 丁丑（72）丁丑（72）
元祐五年庚午岁，十一月壬午日，冬至。
癸未（44） 癸未（56） 壬午（96） 壬午（97） 壬午（96）壬午（96）
元祐七年壬申岁，十一月癸巳日，冬至。
癸巳（92） 甲午（5） 癸巳（45） 癸巳（45） 癸巳（45）癸巳（45）
元符元年戊寅岁，十一月甲子日，冬至。
乙丑（39） 乙丑（52） 甲子（91） 甲子（91） 甲子（91）甲子（91）
崇宁三年甲申岁，十一月丙申日，冬至。
丙申（86） 丙申（99） 丙申（37） 丙申（36） 丙申（37）丙申（37）
绍熙二年辛亥岁，十一月壬申日，冬至。
癸酉（12） 癸酉（27） 壬申（57） 壬申（47） 壬申（57）壬申（46）
庆元三年丁巳岁，十一月癸卯日，太阳到达最南点。
甲辰（59） 甲辰（74） 甲辰（ 3） 癸卯（92） 甲辰（ 3）癸卯（92）
嘉泰三年癸亥岁，十一月甲戌日，太阳到达最南点。
丙子（5） 丙子（21） 乙亥（49） 乙亥（37） 乙亥（49）乙亥（37）
嘉定五年壬申岁，十一月壬戌日，太阳到达最南点。
癸亥（25） 癸亥（41） 壬戌（69） 壬戌（56） 壬戌（68）壬戌（56）
绍定三年庚寅岁，十一月丙申日，太阳到达最南点。
丁酉（65） 丁酉（83） 丁酉（ 7） 丙申（63） 丁酉（ 7）丙申（92）
淳祐十年庚戌岁，十一月辛巳日，太阳到达最南点。
壬午（94） 壬午（71） 辛巳（96） 辛巳（77） 辛巳（94）辛巳（78）
本朝至元十七年庚辰岁，十一月己未日，夜半后六刻，冬至。
己未（87） 庚申（ 5） 己未（25） 己未（ 4） 己未（24）己未（ 6）
自春秋献公以来，共二千一百六十余年，使用《大衍》、《宣明》、《纪元》、《统天》、《大明》、《授时》六种历法推算冬至，共四十九次。《大衍历》符合的有三十二次，不符合的有十七次；《宣明历》符合的有二十六次，不符合的有二十三次；《纪元历》符合的有三十五次，不符合的有十四次；《统天历》符合的有三十八次，不符合的有十一次；《大明历》符合的有三十四次，不符合的有十五次；《授时历》符合的有三十九次，不符合的有十次。
现在考察献公十五年戊寅岁正月甲寅日朔旦冬至，《授时历》推算为甲寅日，《统天历》推算为乙卯日，比实际晚一天；到僖公五年丙寅岁正月辛亥日朔旦冬至，《授时历》和《统天历》都推算为辛亥日，与实际相符；再到昭公二十年己卯岁正月己丑日朔旦冬至，《授时历》和《统天历》都推算为戊子日，比实际早一天，如果强行调整历法以符合这一结果，那么献公、僖公的推算结果就不符合了。由此可知《春秋》所记载的昭公冬至，是太阳运行失准的证明。这是第一点。《大衍历》考察古代冬至，认为刘宋元嘉十三年丙子岁十一月甲戌日太阳到达最南点，《大衍历》与《皇极历》、《麟德历》都推算为癸酉日，比实际早一天，这是太阳运行失准，不是三种历法的误差。现在用《授时历》考察，也推算为癸酉日。这是第二点。大明五年辛丑岁十一月乙酉日冬至，各种历法都推算为甲申日，大概也是太阳运行失准。这是第三点。陈太建四年壬辰岁十一月丁卯日日影最长，《大衍历》和《授时历》都推算为丙寅日，比实际早一天；太建九年丁酉岁十一月壬辰日日影最长，《大衍历》和《授时历》都推算为癸巳日，比实际晚一天；一个早一天，一个晚一天，如果符合壬辰日的结果，则丁酉日的结果就不符合，如果符合丁酉日的结果，则壬辰日的结果就不符合，这也是太阳运行失准的证明。这是第五点。开皇十一年辛亥岁十一月丙午日日影最长，《大衍历》、《统天历》、《授时历》都推算为丙午日，与实际相符；到开皇十四年甲寅岁十一月辛酉日冬至，《大衍历》、《统天历》、《授时历》都推算为壬戌日，如果符合辛亥日的结果，则甲寅日的结果就不符合，如果符合甲寅日的结果，则辛亥日的结果就不符合，开皇十四年甲寅岁冬至，也是太阳运行失准。这是第六点。唐贞观十八年甲辰岁十一月乙酉日日影最长，各种历法推算为甲申日
子信通过观察日食的时间，发现太阳的运行有进入气差的现象，但增减的规律尚未准确掌握。
赵道严根据日影的长短，确定了太阳运行的进退规律，进一步创造了盈缩理论来预测日食。
到了刘焯，他确立了太阳运行的躔度，与四季的变化相对应，虽然增减的规律不同，但后代都沿用他的理论。
阴阳的往来是逐渐积累而变化的，冬至时太阳运行一度多一点，离开赤道二十四度少一点，从此太阳的轨道逐渐向北移动，经过八十八天九十一分，在春分前三天，太阳的轨道与赤道相交，实际运行九十一度三十一分，达到平衡。
此后，太阳的盈分逐渐减少，再运行九十三天七十一分，到了夏至那天，太阳进入赤道内二十四度少一点，实际运行九十一度三十一分，太阳运行一度少一点，之前的盈分完全消失。
从此太阳的轨道逐渐向南移动，经过九十三天七十一分，到了秋分后三天，太阳的轨道与赤道相交，实际运行九十一度三十一分，再次达到平衡。
此后，太阳的缩分逐渐减少，运行八十八天九十一分，离开赤道外二十四度少一点，实际运行九十一度三十一分，再次到达冬至，之前的缩分完全消失。
盈缩都有增减，开始时是增加，结束时是减少。
从冬至到春分，春分到夏至，太阳的轨道从北陆转向西，再转向南，盈分增加，增加到极点后开始减少，减少到完全消失后开始缩分。
从夏至到秋分，秋分到冬至，太阳的轨道从南陆转向东，再转向北，缩分增加，增加到极点后开始减少，减少到完全消失后再次盈分。
盈分开始和缩分结束时，都是八十八天九十一分，运行一个象限；缩分开始和盈分结束时，都是九十三天七十一分，运行一个象限；盈缩的极差都是二度四十分。
这些规律是通过实际测量日影得出的，并通过算术推算，与测量结果完全吻合。
月亮的运行速度有快有慢。
古代历法认为月亮平均每天运行十三度十九分之七。
汉代的耿寿昌认为，太阳和月亮运行到牵牛、东井时，太阳运行过度，月亮运行十五度，到了娄、角时，才开始平行，这是赤道的作用。
贾逵认为，现在合朔、弦、望、月食的时间不准确，是因为不了解月亮运行速度的变化。
李梵、苏统都认为月亮的运行速度应该有快有慢，不一定在牵牛、东井、娄、角之间，而是由于运行轨道的远近出入造成的。
刘洪创作了《乾象历》，经过二十多年的深入研究，终于明白了其中的道理，列出了差率，用来确定进退增减的规律。
后来的历法制定者都沿用他的理论。
到了唐代的一行，他研究了九道的曲折变化，得出了月亮运行速度变化的规律。
先儒认为月亮和五星都是靠近太阳时运行得快，远离太阳时运行得慢。
历法家制定规则，以月亮运行一周的时间为迟疾二历，分别设立初末二限，初限是增加，末限是减少。
在疾初迟末时，月亮的运行速度超过平均速度；在迟初疾末时，月亮的运行速度低于平均速度。
从入转初日开始，月亮每天运行十四度半多一点，逐渐减慢，经过七天，达到平均速度，称为疾初限，其积度比平均速度多五度四十二分。
此后，月亮的运行速度逐渐减慢，又经过七天，运行十二度多一点，之前的增加完全消失，称为疾末限。
此后，月亮再次运行慢速，又经过七天，达到平均速度，称为迟初限，其积度比平均速度少五度四十二分。
此后，月亮的运行速度逐渐加快，又经过七天，再次运行十四度半多一点，之前的增加完全消失，称为迟末限。
月亮运行一周，实际需要二十七天五十五刻四十六分，迟疾的极差都是五度四十二分。
旧历法以一天为一限，共二十八限。
现在通过验证发现，转分的进退时间各不相同，现在将一天分为十二限，共三百三十六限，半周为半周限，四分之一为象限。
白道的交周
在两极南北之间，横贯天体以记录宿度的是赤道。
出入赤道，是太阳运行的轨道，称为黄道。
所谓白道，是与黄道相交的轨道，是月亮运行的路径。
古人根据方向命名，分为八行，与黄道共九行，实际上是一回事。
由于白道随着交点的移动而变化，所以强行用方向和颜色来命名。
月亮轨道出入太阳轨道，两者相交时，在朔日时太阳被月亮遮挡，在望日时月亮被太阳冲撞，所以都会发生日食或月食。
然而，交点的远近不同，食分的深浅也不同，都可以通过数学推算出来。
所谓交周，是指月亮轨道出入太阳轨道一周的时间。
太阳轨道距离赤道的距离是二十四度。
月亮轨道出入太阳轨道，不超过六度；其距离赤道，远不超过三十度，近不低于十八度。
出黄道外为阳，入黄道内为阴，阴阳一周，分为四象。
月亮在黄道上为正交，出黄道外六度为半交，再次在黄道上为中交，入黄道内六度为半交，这就是四象。
每象七天，各行九十一度，四象周历，称为一交的结束，以日计算，得二十七日二十一刻二十二分二十四秒。
每一交，退天一度二百分之九十三，共二百四十九交，退天一周有余，周而复始。
正交在春分时，半交出黄道外六度，在赤道内十八度。
正交在秋分时，半交出黄道外六度，在赤道外三十度。
中交在春分时，半交入黄道内六度，在赤道内三十度。
中交在秋分时，半交入黄道内六度，在赤道外十八度。
月亮轨道与赤道正交时，距离春秋二分时黄赤道正交的宿度，东西不超过十四度三分之二。
夏至在阴历内，冬至在阳历外，月亮轨道与赤道的差异较大；夏至在阳历外，冬至在阴历内，月亮轨道与赤道的差异较小。
因为白道的两个交点，有斜有直，阴阳二历，有内有外，直的密而狭，斜的疏而阔，其差异也因此不同。
现在通过立象置法来推算，差异大的不超过三度五十分，小的不低于一度三十分，这就是月亮轨道与赤道的差异。
昼夜的刻数
日出为昼，日入为夜，昼夜一周，共为一百刻。
以十二时辰来分，每时辰得八刻三分之一。
无论南北，各地都一样。
昼短则夜长，夜短则昼长，这是自然的规律。
春秋二分时，太阳在赤道出入，昼夜相等，各五十刻。
从春分到夏至，太阳进入赤道内，离北极越来越近，夜短而昼长。
从秋分到冬至，太阳出赤道外，离北极越来越远，昼短而夜长。
以地中为准，昼长不超过六十刻，夜长不超过四十刻。
地中以南，夏至时离日出日落的地方较远，昼长可能不到六十刻；冬至时离日出日落的地方较近，夜长可能超过四十刻。
地中以北，夏至时离日出日落的地方较近，昼长可能超过六十刻；冬至时离日出日落的地方较远，夜长可能不到四十刻。
现在京师冬至时日出在辰初二刻，日入在申正二刻，所以昼长三十八刻，夜长六十二刻；夏至时日出在寅正二刻，日入在戌初二刻，所以昼长六十二刻，夜长三十八刻。
因为地有南北，极有高低，日出日落有早晚，所以不同。
今《授
《时历》中记载的昼夜时刻，一律以京师（首都）的时间为准，
各地实测的北极高度数据，详细记录在《天文志》中。
泰始明昌国文-古籍-元史-志-卷五-注解
黄帝、尧、舜：中国古代传说中的三位圣王，被尊为中华文明的始祖，代表了上古时期的理想政治和道德典范。
三代：指夏、商、周三个朝代，是中国历史上的早期王朝，被视为中国文明的奠基时期。
刘歆：西汉末年的学者，曾参与编纂《三统历》，是中国古代历法史上的重要人物。
三统历：西汉时期的一种历法，由刘歆等人制定，是中国古代历法发展的重要里程碑。
耶律楚材：元朝初年的重要政治家和学者，曾参与修订历法，对元朝的文化和科技发展有重要贡献。
大明历：金代赵知微编制的历法。
授时历：元代郭守敬等人编制的历法，是中国古代最精确的历法之一。
祖冲之：南北朝时期的数学家和天文学家，曾对历法进行深入研究，提出了许多重要的历法理论。
周琮：宋朝时期的历法学家，曾参与修订历法，对历法的精确性有重要贡献。
景：古代测量日影的仪器，用于确定时间和季节。
晷差：日影长度的差异，用于计算时间。
刻：古代时间单位，一昼夜分为一百刻。
夏至：夏至是二十四节气之一，太阳直射北回归线，北半球昼最长夜最短。
冬至：二十四节气之一，太阳到达黄经270度时，北半球白昼最短、黑夜最长的一天。
辰初三刻：古代时间表示法，辰时初刻的三分之一，约为早上7点45分。
亥正三刻：古代时间表示法，亥时正刻的三分之一，约为晚上9点45分。
未初三刻：古代时间表示法，未时初刻的三分之一，约为下午1点45分。
寅正二刻：古代时间表示法，寅时正刻的二分之一，约为早上4点30分。
岁余：一年中超出365天的部分，用于调整历法。
岁差：指地球自转轴的长期进动导致春分点每年向西移动的现象，导致恒星年与回归年之间的差异。
日躔：指太阳在黄道上的运行。
周天：天文学上指天体运行一周的时间。
乾象历：东汉刘洪所编的历法，首次引入岁差概念。
《尧典》：《尚书》中的一篇，记载了尧帝时期的政治、天文等内容，是中国古代重要的历史文献之一。
《统天历》：宋代的一种历法，由杨忠辅等人编撰，以岁差为基础，修正了前代历法的误差。
《授时历》：元代郭守敬等人编撰的历法，以精确的天文观测为基础，是中国古代历法的重要成就之一。
《大衍历》：唐代僧一行编撰的历法，以岁差为基础，修正了前代历法的误差，对后世历法有重要影响。
仪凤元年：唐高宗李治的年号，公元676年。
永淳元年：唐高宗李治的年号，公元682年。
开元十年：唐玄宗李隆基的年号，公元722年。
开元十一年：唐玄宗李隆基的年号，公元723年。
开元十二年：唐玄宗李隆基的年号，公元724年。
宋景德四年：宋真宗赵恒的年号，公元1007年。
皇祐二年：宋仁宗赵祯的年号，公元1050年。
元丰六年：宋神宗赵顼的年号，公元1083年。
元丰七年：宋神宗赵顼的年号，公元1084年。
元祐三年：宋哲宗赵煦的年号，公元1088年。
元祐四年：宋哲宗赵煦的年号，公元1089年。
元祐五年：宋哲宗赵煦的年号，公元1090年。
元祐七年：宋哲宗赵煦的年号，公元1092年。
元符元年：宋哲宗赵煦的年号，公元1098年。
崇宁三年：宋徽宗赵佶的年号，公元1104年。
绍熙二年：宋光宗赵惇的年号，公元1191年。
庆元三年：宋宁宗赵扩的年号，公元1197年。
嘉泰三年：宋宁宗赵扩的年号，公元1203年。
嘉定五年：宋宁宗赵扩的年号，公元1212年。
绍定三年：宋理宗赵昀的年号，公元1230年。
淳祐十年：宋理宗赵昀的年号，公元1250年。
至元十七年：元世祖忽必烈的年号，公元1280年。
大衍历：唐代僧一行编制的历法。
宣明历：唐代徐昂编制的历法。
纪元历：宋代杨忠辅编制的历法。
统天历：宋代沈括编制的历法。
贞观二十三年：唐太宗李世民的年号，公元649年。
己酉岁：干支纪年法中的一年，对应公元649年。
辛亥：干支纪日法中的一天。
景长：指冬至日太阳的影子长度，用于测定冬至时刻。
诸历：指历史上不同的历法。
庚戌：干支纪日法中的一天。
大衍历议：唐代僧一行所著的历法著作。
永淳、开元：唐高宗李治和唐玄宗李隆基的年号，分别对应公元682-683年和713-741年。
景德丁未岁：宋真宗赵恒的年号，对应公元1007年。
戊辰日南至：指冬至日，太阳到达最南端。
嘉泰癸亥岁：宋宁宗赵扩的年号，对应公元1203年。
甲戌日南至：指冬至日。
乙亥：干支纪日法中的一天。
曲变其数：指调整历法中的参数以适应观测结果。
日度失行：指太阳在黄道上的运行速度与历法预测不符。
献公：指春秋时期的鲁国国君鲁献公。
至元庚辰：元世祖忽必烈的年号，对应公元1280年。
元嘉十九年：宋文帝刘义隆的年号，对应公元442年。
壬午岁：干支纪年法中的一年，对应公元442年。
乙巳：干支纪日法中的一天。
元嘉历：南朝宋何承天编制的历法。
隋大业三年：隋炀帝杨广的年号，对应公元607年。
丁卯岁：干支纪年法中的一年，对应公元727年。
庚午：干支纪日法中的一天。
皇极历：隋代刘焯编制的历法。
唐武德元年：唐高祖李渊的年号，对应公元618年。
戊寅岁：干支纪年法中的一年，对应公元618年。
戊辰：干支纪日法中的一天。
戊寅历：唐代傅仁均编制的历法。
开元十五年：唐玄宗李隆基的年号，对应公元727年。
己亥：干支纪日法中的一天。
长庆元年：唐穆宗李恒的年号，对应公元821年。
辛丑岁：干支纪年法中的一年，对应公元821年。
壬子：干支纪日法中的一天。
宋太平兴国五年：宋太宗赵炅的年号，对应公元980年。
庚辰岁：干支纪年法中的一年，对应公元980年。
丙午：干支纪日法中的一天。
乾元历：宋代王朴编制的历法。
咸平三年：宋真宗赵恒的年号，对应公元1000年。
庚子岁：干支纪年法中的一年，对应公元1000年。
辛卯：干支纪日法中的一天。
仪天历：宋代沈括编制的历法。
崇宁四年：宋徽宗赵佶的年号，对应公元1105年。
乙酉岁：干支纪年法中的一年，对应公元1105年。
辛丑：干支纪日法中的一天。
金大定十九年：金世宗完颜雍的年号，对应公元1179年。
己亥岁：干支纪年法中的一年，对应公元1179年。
己巳：干支纪日法中的一天。
庆元四年：宋宁宗赵扩的年号，对应公元1198年。
戊午岁：干支纪年法中的一年，对应公元1198年。
己酉：干支纪日法中的一天。
周天列宿度：指天球上二十八宿的度数。
列宿：指二十八宿，古代天文学中将天球分为二十八个区域。
赤道：天球上的赤道，是地球赤道在天球上的投影。
黄道：黄道是太阳在天球上的运行轨迹。
箕宿：二十八宿之一，位于天球东部。
斗初度：指斗宿的起始度数。
日行盈缩：指太阳在黄道上的运行速度变化。
子信积候合蚀加时：子信是指古代天文学家，积候合蚀加时是指通过长期观测日食和月食来确定时间的精确度。
赵道严：古代天文学家，他通过观测日影的长短来确定太阳的运行速度。
刘焯：隋代天文学家，他提出了日躔度的概念，即太阳在黄道上的运行轨迹。
冬至日行一度强：冬至时，太阳每天在黄道上运行一度多一点。
春分：春分是二十四节气之一，太阳直射赤道，昼夜平分。
秋分：秋分是二十四节气之一，太阳直射赤道，昼夜平分。
盈缩：盈缩是指太阳在黄道上的运行速度变化，盈为加速，缩为减速。
刘洪：东汉天文学家，他提出了《乾象历》，对月行迟疾现象进行了深入研究。
一行：唐代天文学家，他通过观测月亮的运行轨迹，得出了月行疾徐的规律。
白道：白道是月亮在天球上的运行轨迹，与黄道相交。
交周：交周是指月亮在白道上运行一周的时间。
昼夜刻：古代将一天分为一百刻，每刻相当于14.4分钟。
时历：指历法，即计算时间的方法，包括年、月、日、时等的划分和安排。在中国古代，历法的制定和修订是国家的重要事务，关系到农业生产、祭祀活动等社会生活的方方面面。
京师：指国家的首都，即皇帝和中央政府所在地。在古代中国，京师不仅是政治中心，也是文化和科学的中心，许多重要的历法、天文观测和科学研究都在这里进行。
北极高下：指北极星的高度，即观测者所在地的地理纬度。在古代天文学中，通过观测北极星的高度可以确定地理位置，这对于历法的制定和天文观测具有重要意义。
天文志：指记录天文现象和历法知识的书籍或篇章。在中国古代，天文志是史书的重要组成部分，详细记载了天文观测、历法修订、天文仪器等内容，是研究古代天文学的重要资料。
泰始明昌国文-古籍-元史-志-卷五-评注
本文主要讲述了中国古代历法的发展历程，从黄帝、尧、舜到元朝，历法的制定和修订始终是历代王朝的重要任务。历法的制定不仅关乎农业生产和社会秩序，还与天命、皇权密切相关。因此，历代王朝都非常重视历法的准确性，并不断进行修订和改进。
文中提到的《三统历》、《大明历》、《授时历》等历法，都是中国古代历法史上的重要成就。尤其是元朝时期的《授时历》，由许衡、王恂、郭守敬等人制定，经过多次实测和修订，达到了极高的精确度，被誉为中国古代历法的巅峰之作。
历法的制定和修订不仅需要精确的天文观测，还需要深厚的数学和天文学知识。文中提到的祖冲之、周琮等人，都是中国古代著名的数学家和天文学家，他们的研究成果为历法的制定提供了重要的理论支持。
此外，文中还提到了历法修订中的一些具体技术问题，如日晷的测量、景符的使用等。这些技术细节反映了中国古代天文学家在历法制定中的严谨态度和精湛技艺。
总的来说，本文不仅记录了中国古代历法的发展历程，还展示了古代天文学家在历法制定中的智慧和努力。历法的精确性不仅体现了古代科技的进步，也反映了中国古代社会对天命的敬畏和对秩序的追求。
这段古文详细记录了古代天文学家通过测量日影长度来确定节气和时间的方法。文中提到的‘景’是指日影的长度，古代天文学家通过测量日影的变化来推算时间和节气的变化。这种方法体现了古代中国天文学的高度发达和对自然规律的深刻理解。
文中提到的‘晷差’是指日影长度的变化量，通过计算晷差可以确定时间差。这种方法在古代被广泛应用于天文历法的制定和时间的测量。文中还提到了‘刻’这一时间单位，一昼夜分为一百刻，这种时间划分方法在古代中国非常常见。
文中详细记录了夏至和冬至的推算过程，通过测量日影长度的变化来确定这两个重要的节气。夏至和冬至是二十四节气中最重要的两个节气，分别标志着一年中白昼最长和最短的时刻。古代天文学家通过精确的测量和计算，能够准确地确定这两个节气的时间。
文中还提到了‘辰初三刻’、‘亥正三刻’、‘未初三刻’和‘寅正二刻’等古代时间表示法。这些时间表示法体现了古代中国对时间的精确划分和记录。通过这些时间表示法，古代天文学家能够准确地记录和推算时间的变化。
总的来说，这段古文展示了古代中国天文学的高度发达和对自然规律的深刻理解。通过测量日影长度的变化，古代天文学家能够准确地确定时间和节气的变化，这种方法在古代被广泛应用于天文历法的制定和时间的测量。这段古文不仅具有重要的历史价值，也展示了古代中国在天文学领域的卓越成就。
这段古文详细记录了古代天文学家通过测量日影长度来确定冬至和夏至时刻的过程。文中提到的“景”是指日影的长度，通过测量不同日期的日影长度，可以推算出冬至和夏至的具体时刻。这种方法体现了古代中国天文学的高度精确性和科学性。
文中提到的“晷差”是指日影长度的差异，通过计算这些差异，可以进一步推算出时间的变化。这种方法在古代是非常重要的，因为它不仅用于确定节气，还用于制定历法。
“岁余”和“岁差”是古代历法中的重要概念。岁余是指一年中超出365天的部分，岁差则是由于地球自转轴的进动导致春分点每年向西移动的现象。这些概念的引入和计算，体现了古代天文学家对天体运行规律的深刻理解。
文中提到的“乾象历”和“大明历”是古代中国重要的历法著作。乾象历首次引入了岁差的概念，而大明历则对岁差进行了进一步的修正。这些历法的制定和修正，反映了古代中国天文学的发展和进步。
总的来说，这段古文不仅记录了古代天文学家通过测量日影长度来确定节气时刻的具体方法，还展示了古代中国天文学在历法制定和天体运行规律研究方面的高度成就。这些成就不仅在当时具有重要意义，也为后世的天文学研究提供了宝贵的参考。
本文主要讨论了中国古代历法中的岁差问题及其在不同历史时期的修正与应用。岁差是天文学中的一个重要概念，指的是地球自转轴的长期进动导致春分点每年向西移动的现象。这一现象导致恒星年与回归年之间存在差异，进而影响历法的准确性。
文中提到《尧典》中记载的冬至日在女、虚之交，以及汉代至唐代冬至日位置的逐渐变化，反映了古代天文学家对岁差现象的观察与记录。通过对不同历史时期冬至日位置的比较，可以看出岁差对历法的影响逐渐被认识和修正。
宋代《统天历》和元代《授时历》的编撰，标志着中国古代历法在岁差问题上的重大进步。《统天历》采用了八十二年岁差率，并结合唐代开元时期的观测数据，最终确定了六十七年为日却行一度的岁差率。这一修正使得历法更加精确，能够更好地反映天象变化。
《授时历》则进一步修正了岁差和岁余的关系，使得历法不仅能够准确反映古代的天象，还能够推演未来的天象变化。文中提到《授时历》在推演春秋以来的冬至日时，往往与实际观测结果相符，这表明该历法在当时的科学水平下达到了极高的精度。
此外，文中还列举了《大衍历》、《宣明历》、《纪元历》、《天历》、《大明历》和《授时历》在不同历史时期的冬至日刻数，展示了这些历法在实际应用中的表现。通过对这些数据的比较，可以看出不同历法在岁差修正上的差异及其对历法精度的影响。
总的来说，本文不仅展示了中国古代天文学家对岁差现象的深刻理解，还体现了他们在历法编撰中的科学精神和严谨态度。通过对岁差的修正，中国古代历法逐渐趋于精确，为后世的天文学和历法学研究奠定了重要基础。
这段文本主要记录了从春秋时期到元朝的一系列历法推算冬至的结果，涉及多个朝代的年号和历法。通过对这些历法推算结果的对比，可以看出古代中国在天文学和历法制定方面的高度成就。
首先，文本中提到的《大衍历》、《宣明历》、《纪元历》、《统天历》、《大明历》和《授时历》都是中国古代重要的历法，反映了不同时期天文学家对天文现象的观测和计算能力。这些历法的制定和修订，体现了古代中国在天文学领域的不断进步。
其次，文本中提到的冬至推算结果，反映了古代中国对天文现象的精确观测和计算。冬至作为二十四节气之一，在中国古代具有重要的农业和文化意义。通过对冬至的精确推算，古代中国人能够更好地安排农业生产和社会活动。
此外，文本中还提到了一些历法推算结果与实际观测结果之间的差异，这些差异可能是由于天文现象的复杂性或历法本身的局限性所致。通过对这些差异的分析，古代天文学家能够不断改进历法，提高其准确性和实用性。
总的来说，这段文本不仅展示了古代中国在天文学和历法制定方面的成就，也反映了古代中国人对自然现象的深刻理解和不断探索的精神。这些历法的制定和修订，不仅为古代中国的农业生产和社会活动提供了重要的时间参考，也为后世的天文学研究奠定了坚实的基础。
这段文字主要讨论了中国古代历法的精确性问题，特别是《授时历》与其他历法的比较。通过对历史上多个朝代的冬至时刻进行对比，作者展示了《授时历》在预测冬至时刻上的准确性。这种精确性不仅体现在对当时冬至时刻的预测上，还体现在对古代冬至时刻的追溯上。
文中提到的‘日度失行’现象，反映了古代天文学家对太阳运行速度变化的观察和理解。这种现象表明，太阳在黄道上的运行速度并非恒定，而是存在一定的变化。这种变化在古代历法编制中是一个重要的考虑因素，因为它直接影响到历法的精确性。
通过对《授时历》与《统天历》、《大衍历》等历法的比较，作者展示了《授时历》在多个历史时期的冬至时刻预测上的优势。这种优势不仅体现在对当时冬至时刻的预测上，还体现在对古代冬至时刻的追溯上。这种精确性使得《授时历》成为中国古代最精确的历法之一。
文中还提到了古代天文学家如何通过观测太阳的影子长度（景长）来确定冬至时刻。这种方法在古代历法编制中具有重要意义，因为它提供了一种相对简单且有效的测定冬至时刻的方法。通过对冬至时刻的精确测定，古代天文学家能够更好地编制历法，从而为农业生产和社会生活提供准确的时间参考。
此外，文中还提到了古代天文学家如何通过观测二十八宿的位置来确定太阳在黄道上的位置（日躔）。这种方法在古代天文学中具有重要意义，因为它提供了一种测定太阳位置的有效手段。通过对太阳位置的精确测定，古代天文学家能够更好地理解太阳的运行规律，从而为历法编制提供更为精确的数据支持。
总的来说，这段文字展示了中国古代天文学家在历法编制和天文观测方面的卓越成就。通过对冬至时刻和太阳位置的精确测定，古代天文学家不仅编制出了精确的历法，还为后世的天文学研究提供了宝贵的数据和经验。这种成就不仅体现了古代中国在天文学领域的领先地位，也为后世的天文学发展奠定了坚实的基础。
这段古文主要描述了中国古代天文学家对太阳、月亮运行规律的观测和研究。首先，文中提到了子信、赵道严、刘焯等天文学家通过长期观测日食、月食和日影的变化，逐步完善了对太阳运行速度的理解。他们发现太阳在黄道上的运行速度并非恒定，而是有盈缩变化，即冬至时太阳运行速度较快，夏至时较慢。这种盈缩现象与地球的自转和公转有关，反映了古代天文学家对天体运行规律的深刻认识。
其次，文中详细描述了太阳在一年中的运行轨迹。从冬至到春分，太阳从南向北移动，运行速度逐渐加快；从春分到夏至，太阳继续向北移动，但速度逐渐减慢；从夏至到秋分，太阳从北向南移动，速度再次加快；从秋分到冬至，太阳继续向南移动，速度逐渐减慢。这种运行轨迹的周期性变化，反映了古代天文学家对太阳运行规律的精确把握。
文中还提到了月亮的运行规律。古代天文学家发现月亮的运行速度也有迟疾变化，即月亮在近地点时运行速度较快，在远地点时较慢。刘洪通过长期观测和研究，提出了《乾象历》，对月行迟疾现象进行了系统的解释。唐代天文学家一行进一步研究了月亮的运行轨迹，得出了月行疾徐的规律。这些研究成果为后世历法的制定提供了重要的理论依据。
此外，文中还提到了白道和黄道的概念。白道是月亮在天球上的运行轨迹，与黄道相交。古代天文学家通过观测月亮的运行轨迹，发现月亮在白道上的运行速度也有变化，并且与太阳的运行轨迹有密切关系。这种对月亮运行规律的深入研究，反映了古代天文学家对天体运行规律的全面认识。
最后，文中还提到了昼夜刻的概念。古代将一天分为一百刻，每刻相当于14.4分钟。通过观测太阳的出没时间，古代天文学家能够精确计算出昼夜的长短变化。这种对时间的精确测量，反映了古代天文学家对天体运行规律的深刻理解和应用。
总的来说，这段古文展示了中国古代天文学家对太阳、月亮运行规律的深入研究。他们通过长期观测和精确计算，逐步完善了对天体运行规律的认识，为后世历法的制定和天文研究奠定了坚实的基础。这些研究成果不仅具有重要的科学价值，也反映了中国古代天文学家的智慧和创造力。
这段文字出自古代文献，反映了中国古代对历法和天文学的重视。历法不仅是时间的计量工具，更是国家治理和社会生活的重要依据。通过历法的制定和修订，古代中国能够合理安排农业生产、祭祀活动等社会事务，维护社会的稳定和秩序。
文中提到的‘京师’作为国家的政治和文化中心，承担了历法制定和天文观测的重要任务。京师的天文观测机构通过实测北极星的高度，确定了各地的地理纬度，这对于历法的精确制定和天文研究具有重要意义。这种以京师为中心的历法制定模式，体现了古代中国中央集权的政治体制和文化传统。
‘北极高下’的观测是古代天文学的重要内容之一。通过观测北极星的高度，古代天文学家能够确定地理位置，进而推算出各地的节气、日影长度等天文数据。这些数据对于历法的制定和农业生产具有重要的指导意义。古代中国天文学家通过长期的观测和积累，形成了丰富的天文知识和历法体系，为后世的天文学研究奠定了基础。
‘天文志’作为记录天文现象和历法知识的文献，是研究古代天文学的重要资料。它不仅记载了天文观测的结果，还反映了古代天文学家对天文现象的理解和解释。通过研究天文志，我们可以了解古代中国的天文学发展历程、历法修订的过程以及天文仪器的使用情况，从而更好地理解古代中国的科学文化成就。
总的来说，这段文字体现了古代中国对历法和天文学的重视，以及京师在天文观测和历法制定中的核心地位。通过实测北极星的高度和记录天文现象，古代中国天文学家为历法的精确制定和天文研究做出了重要贡献。这些成就不仅反映了古代中国的科学文化水平，也为后世的天文学研究提供了宝贵的资料和启示。
