作者： 赵尔巽（1844年－1927年），清代著名历史学家。作为清史的编撰者之一，他在清朝历史研究方面有着杰出的贡献。赵尔巽编写的《清史稿》成为了后世研究清朝历史的重要资料。
年代：成书于清代（约20世纪初）。
内容简要：《清史稿》是赵尔巽根据丰富的史料和个人研究，所编纂的清朝历史书籍。书中详细记录了清朝自建立到灭亡的政治、军事、外交、社会和文化等方面的历史。全书通过对重要人物和历史事件的描述，展现了清朝的盛衰和历史进程。它对后世研究清朝历史、政治制度和社会文化提供了大量的第一手资料，是研究清朝历史的基本参考书籍。
泰始明昌国文-古籍-清史稿-列传-卷二百九十三-原文
畴人一
薛凤祚杜知耕 龚士燕 王锡阐潘柽樟 方中通揭暄梅文鼎子以燕 孙瑴成 曾孙钫 弟文鼐 文鼏 明安图子新陈际新 张肱刘湘煃 王元启 朱鸿 博启 许如兰
推步之学，由疏渐密。泰西新法，晚明始入中国，至清而中、西薈萃，遂集大成。圣祖聪明天亶，研究历算，妙契精微。一时承学之士，蒸蒸乡化，肩背相望。二百年来，推步之学，日臻邃密，匪特辟古学之榛芜，抑且补西人之罅漏。嘉庆初，阮元撰畴人传，后学一再续之，唐、宋以来，於斯为盛。今甄其卓然名家者著於篇，其政事、文学登於列传及儒林、文苑者；西人官钦天监，厕於卿贰，各自有传者：不具列焉。
薛凤祚，字仪甫，淄川人。少习算，从魏文魁游，主持旧法。顺治中，与法人穆尼阁谈算，始改从西学，尽传其术，因著算学会通正集十二卷，考验二十八卷，致用十六卷。其曰对数比例者，乃西算以假数求真数之便法也；曰中法四线，以西法六十分为度，不便以十进位，改从古法，以百分为度，所列止正弦、馀弦、正切、餘切，故曰四线。其推步诸书：曰太阳太阴诸行法原，曰木火土三星经行法原，曰交食法原，曰历年甲子，曰求岁实，曰五星高行，曰交食表，曰经星中星，曰西域回回术，曰西域表，曰今西法选要，曰今法表，皆会中、西以立法。以顺治十二年乙未天正冬至为元，诸应皆从以起算。以三百六十五日二十三刻三分五十七秒五微为岁实，黄、赤道交度有加减，恒星岁行五十二秒，与天步真原法同。梅文鼎谓其书详於法，而无快论以发其趣，盖其时新法初行，中、西文字辗转相通，故词旨未能尽畅。然贯通其中、西，要不愧为一代畴人之功首云。
凤祚定岁实秒数为五十七，与奈端合，与穆尼阁以为四十五秒者不同，则其学非墨守穆氏可知。或讥其谨守穆尼阁成法，依数推衍，非笃论也。
杜知耕，字端甫，号伯瞿，柘城举人。精研几何，以利玛窦、徐光启所译几何原本复加删削，作几何论约七卷，后附十条，则知耕所作也。言其法似为本书所无，其理实涵各题之内，非能于本书之外别生新义也。称后附者，以别于丁氏、利氏之增题也。又杂取诸家算学，参以西人之说，依古九章为目，作数学钥六卷。言数非图不明，图非指不明，图中用甲乙等字作志者，代指也，故其书于图解尤详。梅文鼎称其图註九章，颇中肯綮云。
龚士燕，字武任，武进人。少颖异能文，讲求性理，旁通算术，发明蔡氏律吕新书，推演黄锺圜径、开方密率诸法，而於元太史郭守敬授时术尤得其秘。如求冬至时刻，上推百年加一算，以为岁周三百六十五日二十四刻二十五分之内，满百年消长一分。核之春秋日食三十七事，多与符合。又如推晦、朔、弦、望，以太阳之盈与太阴之迟，以太阴之疾与太阳之缩皆相并，为同名相从；以太阳之盈与太阴之疾，以太阴之迟与太阳之缩皆相减，为异名相消：乃得盈缩迟疾化为加减时刻之差。以此加减朔望之大、小餘分，得定朔弦望诸时刻。至盈、缩、迟、疾，郭守敬创平、立、定三差，理隐数繁，能审其机括，绘图以明之。
又如赤道变黄道之法，谓在二至后者，以度率一零八六五除赤道积度变为黄道宿度；在二分后者，以度率一零八六五乘赤道积度变为黄道宿度。凡此授时之术，引伸益明。其餘月离五星等法，与回回、西洋诸算，遇有疑难，无不洞悉。至日、月体径有大小，交食限数有浅深，具见其奥。且悟唐顺之弧容直阔之法，以推求太阴出入黄道，在内在外，不离乎六度。自是一应七政、气朔、交食诸端，按法而推，百不失一。
康熙六年，诏募天下知算之士，於是入都。其时钦天监用大统算七政多不合天，奉旨在观象台每日测验，而金星比算差至十度。因修改古法，乃据七年所测表景推测太盈缩，又据日测五星行度，考其迟疾。彼此推求加减，气、闰、转、交诸应，测验皆与天合。盖其法亦本郭守敬，太阳为气应，推冬至日躔用之；太阴周天为转应，朔望用之；日月地球之运，同在一直线，视点上为交应，推日月食用之；合气盈、朔虚之奇零为闰应，推闰月用之；此外又有金、木、水、火、土同聚一宿为合应，推五星用之。
修改诸应，取顺治元年甲申为元，以应世祖章皇帝抚有中夏之祥，钦天监名为“改应法”。既改气、闰、转、交诸应，复改迟、疾限及求差诸法，又改冬至黄道日出分依步中星内法。又盈缩迟疾无积度，日食无时差，皆与天合。台官交章保荐。八年，历书告成，奏对武英殿，授历科博士。时有荐西人南怀仁等於朝，及其实测诸术，验且捷，遂定用西法，而古历卒不行。
十年，以疾归，著有象纬考一卷、历言大略一卷。其天体论一卷及闇虚、中星、交食、定朔、五星诸论俱佚。
王锡阐，字晓菴，吴江人。
兼通中、西之学，自立新法，用以测日、月食不爽秒忽。
每遇天晴霁，辄登屋卧鸱吻察星象，竟夕不寐。
著晓庵新法六卷，序曰：
‘炎帝八节，历之始也，而其书不传。黄帝、虞、夏、殷、周、鲁七历，先儒谓系伪作。今七历俱存，大指与汉历相似，而章蔀气朔，未睹其真，为汉人所托无疑。太初、三统，法虽疏远，而创始之功，不可泯也。刘洪、姜岌，次第阐明，何、祖专力表、圭，益称精切。自此南、北历象，率能好学深思，多所推论，皆非浅近所及。唐历大衍稍密，然开元甲子当食不食，一行乃为谀词以自解，何如因差以求合乎？’
又曰：
‘明初元统造大统历，因郭守敬遗法，增损不及百一，岂以守敬之术果能度越前人乎？守敬治历，首重测日，余尝取其表景，反覆布算，前后牴牾。馀所创改，多非密率。在当日已有失食失推之咎，况乎遗籍散亡，法意无徵。兼之年远数盈，违天渐远，安可因循不变耶？元氏艺不逮郭，在廷诸臣，又不逮元，卒使昭代大典，踵陋袭伪。虽有李德芳苦争之，然德芳不能推理，而株守陈言，无以相胜，诚可叹也！’
又曰：
‘万历季年，西人利氏来华，颇工历算。崇祯初，命礼臣徐光启译其书，有历指为法原，历表为法数，书百馀卷，数年而成，遂盛行于世。言历者莫不奉为俎豆。吾谓西历善矣，然以为测候精详可也，以为深知法意未可也。循其理而求通，可也；安其误而不辨，不可也。姑举其概：二分者，春、秋平气之中；二至者，日道南、北之中也。大统以平气授人时，以盈缩定日躔。西人既用定气，则分、正为一，因讥中历节气差至二日。夫中历岁差数强，盈缩过多，恶得无差？然二日之异，乃分、正殊科，非不知日行之朓朒而致误也。历指直以怫己而讥之，不知法意一也。诸家造历，必有积年日法，多寡任意，牵合由人。守敬去积年而起自辛巳，屏日法而断以万分，识诚卓也。西历命日之时以二十四，命时之分以六十，通计一日为分一千四百四十，是复用日法矣。至於刻法，彼所无也。近始每时四分之，为一日之刻九十六。彼先求度而后日，尚未觉其繁，施之中历则窒矣。乃执西法反谓中历百刻不適于用，何也？且日食时差法之九十有六，与日刻之九十六何与乎？而援以为据，不知法意二也。天体浑沦，初无度分可指，昔人因一日日躔命为一度，日有疾徐，断以平行，数本顺天，不可损益。西人去周天五度有奇，敛为三百六十，不过取便割圜，岂真天道固然？而党同伐异，必曰日度为非，讵知三百六十尚非天真有此度数乎？不知法意三也。上古置闰，忄互于岁终，盖历术疏阔，计岁以置闰也。中古法日趋密，始计月以置闰，而闰于积终，故举中气以定月，而月无中气者即为闰。大统专用平气，置闰必得其月，新法改用定气，致一月有两中气之时，一岁有两可闰之月，若辛丑西历者，不亦盭乎！夫月无平中气者，乃为积馀之终，无定中气者，非其月也。不能虚衷深考，而以卤莽之习，侈支离之学，是以归馀之后，气尚在晦；季冬中气，已入仲冬；首春中气，将归腊杪。不得已而退朔一日以塞人望，亦见其技之穷矣，不知法意四也。天正日躔，本起子半，后因岁差，自丑及寅。若夫合神之说，乃星命家猥言，明理者所不道。西人自命历宗，何至反为所惑，谓天正日躔定起丑初乎？况十二次命名，悉依星象，如随节气递迁，虽子午不妨异地，岂玄枵、鸟咮亦无定位耶？不知法意五也。岁实消长，昉于统天，郭氏用之，而未知所以当用；元氏去之，而未知所以当去。西人知以日行最高求之。而未知以二道远近求之，得其一而遗其一。当辨者一也。岁差不齐，必缘天运缓疾，今欲归之偶差，岂前此诸家皆妄作乎？黄、白异距，生交行之进退；黄、赤异距，生岁差之屈伸；其理一也。历指已明於月，何蔽于日？当辨者二也。日躔盈缩最高，斡运古今不同，揆之臆见，必有定数。不惟日月星应同，但行迟差微，非毕生岁月所可测度耳。西人每诩数千年传人不乏，何以亦无定论？当辨者三也。日月去人时分远近，儿径因分大小，则远近大小，宜为相似之比例。西法日则远近差多，而儿径差少；月则远近差少，而儿径差多。因数求理，难会其通。当辨者四也。日食变差，机在交分，日轨交分，与月高交分不同；月高交於本道，与交於黄道者又不同。历指不详其理，历表不著其数，岂黄道一术足穷日食之变乎？当辨者五也。中限左右，日月儿差，时或一东一西。交、广以南，日月儿差，时或一南一北。此为儿差异向与儿差同向者加减迥别，历指岂以非所常遇，故置不讲耶？万一遇之，则学者何以立算？当辨者六也。日光射物，必有虚景，虚景者，光径与实径之所生也。闇虚恒缩，理不出此。西人不知日有光径，仅以实径求闇虚。及至推步不符，复酌损径分以希偶合。当辨者七也。月食定望，惟食甚为然，亏复四限，距望有差。日食稍离中限，即食甚已非定朔。至于亏复，相去尤远。西历乃言交食必在朔、望，不用朓朒次差。当辨者八也。’
又曰：‘语云：‘步历甚难，辨历甚易。’盖言象纬森罗，得失无所遁也。
据彼所说，亦未尝自信无差。
五星经度，或失二十馀分，躔离表验，或失数分，交食值此，所失当以刻计；凌犯值此，所失当以日计矣。
故立法不久，违错颇多，余於历说已辨一二。
乃癸卯七月望食当既不既，与夫失食失推者何异乎？
且译书之初，本言取西历之材质，归大统之型范，不谓尽隳成宪，而专用西法，如今日者也。
余故兼采中、西，去其疵类，参以己意，著历法六篇，会通若干事，改正若干事，表明若干事，增辑若干事，立法若干事。
旧法虽舛，而未遽废者，两存之；理虽可知，而上下千年不得其数者，缺之；虽得其数，而远引古测，未经目信者，别见补遗，而正文仍袭其故。
为日一百几十有几，为文万有千言，非敢妄云窥其堂奥，庶几初学之津梁也。
其法：度法百分，日法百刻，周天三百六十五度二十五分六十五秒五十九微三十二纤，内外准分三十九分九十一秒四十九微，次准九十一分六十八秒八十六微，黄道岁差一分四十三秒七十三微二十六纤。
列宿经纬：角一十度七十三分七十九秒，南二度一分二十三秒，亢一十度八十二分二十四秒，北三度一分一秒，氐一十八度一十六分一十四秒，北四十三分九十六秒，房四度八十三分六十三秒，南五度四十六分一十九秒，心七度六十六分二秒，南三度九十七分三十八秒，尾一十五度八十二分七十八秒，南一十五度二十一分九十秒，箕九度四十六分九十六秒，南六度五十九分四十九秒，南斗二十四度一十九分八十二秒，南三度八十八分九十三秒，牵牛七度七十九分五十五秒，北四度七十五分一十七秒，婺女一十一度八十二分二秒，北八度二十分五十九秒，虚一十度一十二分九十一秒，北八度八十二分七十秒，危二十度四十一分四秒，北一十度八十五分六十二秒，营室一十五度九十二分二十秒，北一十度七十一分七十一秒。
先是晓菴新法未成，作历说六篇，历策一篇，其说精核，与新法互有详略。
又隐括中、西步术，作大统西历启蒙。
丁未岁，因推步大统法作丁未历稿。
辛酉八月朔日食，以中、西法及己法豫定时刻分秒，至期，与徐发等以五家法同测，己法独合，作推步交朔测小记。
又以治历首重割圜，作圜解。
测天当据仪晷，造三晷，兼测日、月、星，因作三辰晷志。
俱能究术数之微奥，补西人所不逮。
与同时青州薛凤祚齐名，称‘南王北薛’云。
历策有云：‘每遇交会，必以所步、所测课较疏密，疾病寒暑无间，变周、改应、增损、经纬、迟疾诸率，于兹三十年所。’
亦可以想见作者实测之诣力矣。
潘柽樟，字力田。
与王锡阐同邑友善。
锡阐尝馆其家，讲论算法，常穷日夜。
柽樟著辛丑历辨曰：‘昔尧命羲和，曰以闰月定四时成岁，盖历法首重置闰。
而春秋传曰：‘先王之正时也，履端于始，举正于中，归馀于终。’所谓始者，取气朔分齐为历元也；所谓中者，月以中气为定，无中气者则为闰也；所谓终者，积气盈、朔虚之数而闰生焉也。
自汉以降，历术虽屡变，未有能易此者。
唯西域诸历则不然，其法有闰年、有闰日，而无闰月。
盖中历主日，而西历主度，不可强同也。
今之为西历者，乃以日躔求定气、求闰月，不惟尽废中国之成宪，而亦自悖西域之本法矣。
故十馀年来，宫度既紊，气序亦讹。
如戊子之闰三月也，而置在四月；庚寅之闰十一月也，而置在明年之二月；癸巳之闰七月也，而置在六月；己亥之闰正月也，而置在三月。
其为舛误，何可胜言！
然非深于历者，未易指摘。
至于辛丑之闰月，则其失显然无以自解矣。
何也？闰法论平气而不当论定气，若以平气，则是年小雪在十月晦，冬至在十一月朔，而闰在两月之间。
所谓闰前之月中气在晦，闰后之月中气在朔者也。
今以定气，则秋分居九月朔，故预于七月朔置闰，然后秋分仍在八月，而霜降、小雪各归其月。
无如大寒定气乃在十一月朔，而十二月又无中气，既不可再置一闰，则是同一无中气之月，而或闰或否。
彼所云太阳不及交宫即置为闰者，何独於此而自背其法乎？
盖孟秋非归馀之终，故天正不能履端於始，地正不能举正於中也。
如此，则四时不定，岁功不成，而闰法又安用之？
且壬寅正月，定朔旧法在丙子丑初，即彼法亦在丙子子正，则辛丑之季冬当为大尽，而明年正月中气复移於今岁之秒。
彼亦自觉其未安，故进岁朔於乙亥，而季冬为小尽之月，皆所谓欲盖弥彰者耳。
即辛丑岁朔，以彼法推，当会於亥正，而今在戌正，差至六刻，其他牴牾，更难枚举。
噫！作法如是，而犹自以为尽善，可乎？
盖其说以日行盈缩为节气短长，每遇日行最盈，则一月可置一气，是古有气盈、朔虚，而今更有气虚、朔盈矣。
然或晦朔两节而中气介其间。
如丙戌仲冬，去闰稍远，犹可不论；独辛丑仲冬，冬至、大寒俱在晦朔，去闰最近，进退无据。
苟且迁就，有不胜其弊者。
夫闰法之主平气，行之已数千年矣，今一变其术，未久而辄穷，至於无可如何，则又安取纷更为也！
柽樟后坐法死。
弟耒，亦学历算，见文苑传。
方中通，字位伯，桐城人。
集诸家之说，著数度衍二十四卷，附录一卷。
言：‘九章皆出於句股，环矩以为圆，合矩以为方，方数为典。以方出圆，句股之所生也；少广，方圆所出也。方田、商功，皆少广所出。一方一圆，其间不齐，始出差分，而均输对差分之数，盈朒借差求均。又差分、均输所出，而以方程济其穷。度量衡原出黄锺，粟布出焉，黄锺出於方圆者也。’
又言：‘古法用竹径一寸长六分二百七十一而成六觚为一握，后世有珠算而古法亡矣。泰西之笔算、筹算，皆出九九。尺算即比例规，出三角。乘莫善於筹，除莫善於笔，加减莫善於珠，比例莫善於尺。’
其珠算归法，三一三十一，四一二十二之类，‘十’字俱作‘餘’字。
其尺算以三尺交加，取数祗用平分一线。
时广昌揭暄亦明算术，与中通论难日轮大小，得光肥影瘦之故，及古今岁差之不同，须测算消长以齐之。
一昼夜人一万三千五百息，每息宗动天行十万里有奇。
别录为一书，曰揭方问答。
揭暄，字子宣，广昌人。
著璇玑遗述七卷，一名写天新语。
论日月东行如槽之滚丸，而月质不变。
又谓七政之小轮。皆出自然，如盘水之运旋而周遭，以行疾而成旋涡，遂成留逆。
於五星西行，日月盈缩，皆设譬多方，言之近理。
康熙己巳，以草稿寄梅文鼎，抄其精语为一卷，称其‘深明西术，而又别有悟入，其言多古今所未发’。
卒年逾八十。
梅文鼎，字定九，号勿庵，宣城人。
儿时侍父士昌及塾师罗王宾仰观星象，辄了然於次舍运转大意。
年二十七，师事竹冠道士倪观湖，受麻孟旋所藏台官交食法，与弟文鼐、文鼏共习之。
稍稍发明其立法之故，补其遗缺，著历学骈枝二卷，后增为四卷，倪为首肯。
值书之难读者，必欲求得其说，往往废寝忘食。
残编散帖，手自抄集，一字异同，不敢忽过。
畴人子弟及西域官生，皆折节造访，有问者，亦详告之无隐，期与斯世共明之。
所著历算之书凡八十馀种。
读元史授时历经，叹其法之善，作元史历经补註二卷。
又以授时集古法大成，因参校古术七十馀家，著古今历法通考七十馀卷。
授时以六术考古今冬至，取鲁献公冬至证统天术之疏，然依其本法步算，与授时所得正同，作春秋以来冬至考一卷。
元史西征庚午元术，西征者，谓太祖庚辰；庚午元者，上元起算之端也。
历志讹太祖庚辰为太宗，不知太宗无庚辰也。
又讹上元为庚子，则於积年不合。
考而正之，作庚午元算考一卷。
授时非诸古术所能方，郭守敬所著历草，乃历经立法之根，拈其义之精微者，为郭太史历草补註二卷。
立成传写鲁鱼，不得其说，不敢妄用，作大统立成註二卷。
授时术於日躔盈缩、月离迟疾，并以垛积招差立算，而九章诸书无此术，从未有能言其故者，作平立定三差详说一卷，此发明古法者也。
唐九执术为西法之权舆，其后有婆罗门十一曜经及都聿利斯经，皆九执之属。
在元则有札马鲁丁西域万年术，在明则马沙亦黑、马哈麻之回回术、西域天文书，天顺时具琳所刻天文实用，即本此书，作回回历补註三卷，西域天文书补註二卷，三十杂星考一卷。
表景生於日轨之高下，日轨又因里差变移，作四省表景立成一卷。
周髀所言里差之法，即西人之说所自出，作周髀算经补註一卷。
浑盖之器，最便行测，作浑盖通测宪图说订补一卷。
西国以太阳行黄道三十度为一月，作西国日月考一卷。
西术中有细草，犹授时之有通轨也，以历指大意隐括而注之，作七政细草补注三卷。
新法有交食蒙求、七政蒙引二书，并逸，作交食蒙求订补二卷、附说二卷。
监正杨光先不得已日食图，以金环食与食甚分为二图，而各有时刻，其误非小，作交食作图法订误一卷。
新法以黄道求赤道交食，细草用仪象志表，不如弧三角之亲切，作求赤道宿度法一卷。
谓中、西两家之法，求交食起复方位，皆以东西南北为言。
然东西南北惟日月行至午规而又近天顶，则四方各正其位。
非然，则黄道有斜正之殊，而自亏至复，经历时刻，辗转迁移，弧度之势，顷刻易向。
且北极有高下，而随处所见必皆不同，势难施诸测验。
今别立新法，不用东西南北之号，惟人所见日月员体，分为八向，以正对天顶处为上，对地平处为下，上下联为直线，作十字横线，命之曰左、曰右，此四正向也；曰上左、上右，曰下左、下右，则四隅向也。
乃以定其受蚀之所在，则举目可见，作交食管见一卷。
太阳之有日差，犹月离交食之有加减时，因表说含糊有误，作日差原理一卷。
火星最为难算，至地谷而始密，解其立法之根，作火纬图法一卷。
订火纬表记，因及七政，作七政前均简法一卷。
天问略取纬不真，而列表从之误，作黄赤距纬图辨一卷。
新法帝星、句陈经纬刊本互异，作帝星句陈经纬考异一卷。
测帝星、句陈二星为定夜时之简法，作星轨真度一卷。
以上皆以发明新法算书，或正其误，或补其缺也。
康熙己未，明史开局，历志为钱塘吴任臣分修，经嘉禾徐善、北平刘献廷、毗陵杨文言，各有增定，最后以属黄宗羲，又以属文鼎，摘其讹误五十馀处，以算草、通轨补之，作明史历志拟稿一卷。
虽为大统而作，实以阐明授时之奥，补元史之缺略也。
其总目凡三：曰法原，曰立成，曰推步。
而法原之目七：曰句股测望，曰弧天割圜，曰黄赤道差，曰黄赤道内外度，曰白道交周，曰日月五星平立定三差，曰里差刻漏。
立成之目凡四：曰太阳盈缩，曰太阴迟疾，曰昼夜刻，曰五星盈缩。
推步之目凡六：曰气朔，曰日躔，曰月离，曰中星，曰交食，曰五星。
又作历志赘言一卷，大意言：
“明用大统，实即授时，宜详元史缺载之事，以补其未备。
又回回历承用三百年，法宜备书。
又郑世子历学已经进呈，宜详述。
他如袁黄之历法新书，唐顺之、周学述之会通回历，以庚午元历之例例之，皆得附录。
其西洋历方今现行，然崇祯朝徐、李诸公测验改宪之功，不可没也，亦宜备载缘起。”
己巳，至京师，谒李光地于邸第，谓曰；
“历法至本朝大备矣，而经生家犹若望洋者，无快论以发其趣也。
宜略仿元赵友钦革象新书体例，作简要之书，俾人人得其门户，则从事者多，此学庶将大显。”
因作历学疑问三卷。
光地扈驾南巡，驻跸德州，有旨取所刻书籍回奏，光地匆遽未及携带，遂以所辢刻历学疑问谨呈。
奉旨：“朕留心历算多年，此事朕能决其是非，将书留览再发。”
二日后，召见光地，上云：“昨所呈书甚细心，且议论亦公平，此人用力深矣，朕带回宫中仔细看阅。”
光地因求皇上亲加御笔，批驳改定，上肯之。
明年癸未春，驾复南巡，於行在发回原书，面谕光地：“朕已细细看过。”
中间圈点涂抹及签贴批语，皆上手笔也。
光地复请此书疵缪所在，上云：“无疵缪，但算法未备。”
盖其书本未完成，故圣谕及之。
未几，圣祖西巡，问隐沦之士，光地以关中李颙、河南张沐及文鼎三人对。
上亦夙知颙及文鼎，乙酉二月，南巡狩，光地以抚臣扈从，上问：“宣城处士梅文鼎焉在？”
光地以“尚在臣署”对。
上曰：“朕归时，汝与偕来，朕将面见。”
四月十九日，光地与文鼎伏迎河干，越晨，俱召对御舟中，从容垂问，至于移时，如是者三日。
上谓光地曰：“历象算法，朕最留心，此学今鲜知者，如文鼎，真仅见也。
其人亦雅士，惜乎老矣！”
连日赐御书扇幅，颁赐珍馔。
临辞，特赐“绩学参微”四大字。
越明年，又命其孙瑴成内廷学习。
五十三年，瑴成奉上谕：“汝祖留心律历多年，可将律吕正义寄一部去，令看，或有错处，指出甚好。
夫古帝王有‘都俞吁咈’四字，后来遂止有‘都俞’，即朋友之间，亦不喜人规劝，此皆是私意。
汝等须竭力克去，则学问长进。
可并将此意写与汝祖知之。”
恩宠为古所未有。
文鼎图注各直省及蒙古各地南北东西之差，为书一卷，名分天度里。
地既浑员，则所云二百五十里一度，纬度则然，若经度离赤道远，则里数渐狭。
故惟路正东西行，自有一定算法；路或斜行，则其法不可用为立法。
若两地各有北极高度，又有相距之经度，而无相距里数，是有两边一角，而求馀一边，即可以知斜距之里。
若先有斜距之里数而求经度，是为三边求角，亦可以知相距之经度。
其法并用斜弧三角形立算，可与月食求经度之法相参，而且简易的确。
文鼎於测算之图与器，一见即得要领，古六合、三辰、四游之仪，以意约为小制，皆合。
又自制为月道仪，揆日测高诸器，皆自出新意。
尝登观象台，流览新制六仪，及元郭守敬简仪、明初浑球，指数其中利病，皆如素习。
其书有测器考二卷，又自鸣钟说一卷，壶漏考一卷，日晷备考一卷，赤道提晷一卷，勿菴揆日器一卷，加时日轨高度表一卷，揆日测说一卷，璇玑尺解一卷，测量定时简法一卷，勿庵测望仪式一卷，勿庵仰观仪式一卷，月道仪式一卷。
其说曰：
“月道出入于黄道，犹黄道之出入于赤道也。
自古及今，未有为之仪器者。
今依浑盖北密南疏之度，以黄极为枢，而月道半在其内，半出其外，则月纬大小之理，及正交、中交、交前、交后之法，可以众著。
仪以铜为之，略如浑盖，其上盘为月道，亦如浑盖天盘之黄道圈；其下盘黄道经纬，分宫分度，并以黄极为心，而侭边以黄纬九十五度少半为限。
出黄道南五度少半，月道所到也。”
礼部郎中李焕斗尝从文鼎问历法，作答李祠部问历一卷。
沧州老儒刘介锡同客天津，问历法，作答刘文学问天象一卷。
又言生平於难读之书，每手疏而携诸箧，以待明者问之，於历学尤多，作思问编一卷。
纬度以测日高，因知北极为用甚博，古用二至二分，今则逐日可测，承友人之问，作七十二候太阳纬度一卷。
潘天成从文鼎学历，而苦于布算，作写历步历法一卷授之。
又授时步交食式一卷，文鼎季弟文鼏之稿也。
步五星式六卷，文鼎与其仲弟文鼐共成之者也。
文鼎每得一书，皆为正其讹阙，指其得失，又古历列星距度考一卷，从残坏之本，寻其普天星宿，入宿去极度分，中缺二星，又从闽中林侗写本补完之，而断以为授时之法。
万历中利玛窦入中国，始倡几何之学，以点线面体为测量之资，制器作图，颇为精密。
学者张皇过甚，未暇深考，辄薄古法为不足观；而株守旧法者，又斥西人为异学：两家之说，遂成隔碍。
文鼎集其书而为之说，用筹、用尺、用笔，稍稍变从我法。
若三角、比例等，原非中法可赅，特为表出。
古法方程，亦非西法所有，则专著论，以明古人之精意不可湮没。
又为九数存古，以著其概。
总为中西算学通例一卷。
馀分九种：一，勿庵筹算七卷。
二，笔算五卷。
皆易横为直，以便中文。
三，度算一卷，原无算例，其弟文鼏补之，而参以嘉禾陈荩谟尺算用法。
又有矩算，用一尺一方板，则文鼎所创。
四，比例数解四卷。
释穆尼阁所译之对数。
五，三角法举要五卷。
其目有五：曰测量名义，曰算例，曰内容外切，曰或问，曰测量。
六，方程论六卷，安溪李鼎徵为刻于泉州。
七，几何摘要三卷，就原本删繁补遗。
八，句股测量二卷，就周髀、海岛诸术，录要以存古意。
九，九九数存古十卷，九数即九章隶首之法，仅存者九章之目耳。
后有作者，莫能出其范围。
外有书一十七种为续编：一，少广拾遗一卷。
古有一乘方至九乘方相生之图，而莫详所用。
后或增之至十乘，惟四乘方与十乘方不可借用他法，因为推演至十二乘方，有条不紊。
二，方田通法一卷，算家有捷田二十三法，广之为百二十有四。
三，几何补编四卷。
几何原本六卷，止於测面，七卷以后，未经译出，取测量全义量体诸率，实考其作法根源，以补原书之未备。
而原书二十等面体之说，向固疑其有误者，今乃得其实数。
又原本理分中末线，但有求作之法，而莫知所用。
今依法求得十二等面及二十等面之体积，因得其各体中棱线及辏心对角诸线之比例。
又两体互相容及两体与立方、立员诸体相容各比例，并以理分中末线为法，乃知此线不为徒设。
四，西镜录订註一卷。
五，权度通几一卷。
重学为西术一种，载於比例规解者多譌误，今以南勋卿仪象志互相订补，其数始真。
六，奇器补註二卷。
关中王公徵奇器图说所述引重转木诸制，并有裨於民生日用，而又本於西人重学，以明其意。
尝以书史所传，如汉杜诗作水〈厂义〉以便民，及王氏农书诸水器之类，睹记所及，如刘继庄诗集载筒车灌田法，稍为辑录，以补其所遗，而图与说不相应者正之，以西字为识者易之。
七，正弦简法补一卷。
大测诸书，言作八线表之法详矣，薛凤祚书有用矢线求度法，为之作图，以明其意。
因得两法，在六宗、三要之外，而为用加捷。
两法者，一曰正弦方幂倍而退位得倍弧之矢，一曰正矢进位折半得半弧正弦上方幂。
八，弧三角举要五卷。
历书皆三角法也，内分二支：一曰平三角，一曰弧三角。
凡历法所测，皆弧度也，弧线与直线不能为比例，则剖析浑员之体，而各於弧线中得其相当直线。
即於无句股中寻出句股，此法之最奇而确者。
弧三角之用法虽多，而其最著明者，为黄赤交变一图。
反覆推论，了如列眉，熟此一端，则其馀不难推及矣。
测量全义第七、第八、第九卷专明此理，而举例不全，且多错谬。
其散见诸历指者，仅存用数，无从得其端倪。
天学会通圈线三角法，作图草率，往往不与法相应。
一以正弧三角为纲，仍用浑仪解之。
正弧三角之理，尽归句股。
参伍其变，斜弧三角之理，亦归句股矣。
其目：曰弧三角体式，曰正弧句股，曰求馀角法，曰弧角比例，曰垂线，曰次形，曰垂弧捷法，曰八线相当。
九，环中黍尺五卷。
举要中弧度之法已详，然更有简妙之用宜知。
测量全义原有斜弧两矢较之例，所立图姑为斜望之形，而无实度可言。
今一以平仪正形为主，凡可以算得者，即可以器量。
浑仪真象，呈诸片楮，而经纬历然，无丝毫隐伏假借。
至於加减代乘除之用，历书举其名不详其说，疑之数十年，而后得其条贯，即初数次数甲数乙数诸法。
其目：曰总论，曰先数后数，曰平仪论，曰三极通几，曰初数次数，曰加减法，曰甲数乙数，曰加减捷法，曰加减又法，曰加减通法。
十，巉堵测量二卷。
古法斜剖立方，成两巉堵形，巉堵又剖为二，成立三角，立三角为量体所必需，然此义皆未发。
今以浑仪黄赤道之割切二线成立三角形，立三角本实形，今诸线相遇成虚形，与实形等，而四面皆句股，西法通於古法矣。
又于馀弧取赤道及大距弧之割切线，成句股方锥形，亦四面皆句股，即弧度可相求，亦不言角，古法通于西法矣。
二者并可以坚楮为仪象之，则八线相为比例之理，了如掌纹。
而郭守敬员容方直矢接句股之法，不烦言说而解。
其目：曰总论，曰立三角摘要，曰浑员内容立三角，曰句股锥，曰句股方锥，曰方巉堵容员巉堵，曰员容方直仪简法，曰郭太史本法，曰角即弧解。
十一，用句股解几何原本之根一卷。
几何不言句股，而其理莫能外。
故其最难通者，以句股释之则明。
惟理分中末线似与句股异源，今为游心於立法之初，仍不外乎句股，益信古句股义包举无遗。
徐光启译大测表，名之曰割圜句股八线表，其知之矣。
十二，几何增解数则。
其目有四：曰以方斜较求斜方，曰切线角与员内角交互相应，曰量无法四边形捷法，曰取平行线简法。
并就几何各题而增，不入补编，附前条共卷。
十三，仰观覆矩二卷。
一查地平经度为日出入方位，一查赤道经度为日出入时刻，并依里差，用弧三角立算，与历书法微别。
十四，方员幂积二卷。
历书周径率至二十位，然其入算，仍用古率十一与十四之比例，岂非以乘除之际难用多位欤？
今以表列之，取数殊易，乃为之约法，则径与周之比例即方、员二幂之比例，亦即为立方、立员之比例，殊为简易直捷。
十五，丽泽珠玑一卷。
友朋之益，取其有关算学者。
十六，算器考一卷。
十七，数学星槎一卷。
文鼎历学疑问，曾呈御览，后又引申其说，作历学疑问补二卷，皆平正通达，可为步算家准则。
文鼎为学甚勤，刘辉祖同舍馆，告桐城方苞曰：吾每寐觉，漏鼓四五下，梅君犹构灯夜诵，乃今知吾之玩日而愒时也。
居京师时，裕亲王以礼延致朱邸，称梅先生而不名。
李文贞公命子锺伦从学，介弟鼎徵及群从皆执弟子之礼。
宿迁徐用锡，晋江陈万策，景州魏廷珍，河间王之锐，交河王兰生，皆以得与参校为荣。
家多藏书，频年游历，手抄杂帙不下数万卷。
岁在辛丑，卒，年八十有九。
上闻，特命有地治者经纪其丧，士论荣之。
子以燕，字正谋。
康熙癸酉举人。
於算学颇有悟入，有法与加减同理，而取径特殊，能於恒星历指中摘出致问，文鼎所谓“能助余之思”也。
早卒。
瑴成，字玉汝，以燕子。
文鼎疑日差既有二根，即宜列二表，瑴成以为：“定朔时既有高卑盈缩之加减矣，复用于此，岂非複乎？”
文鼎因其说，然后悟交食之非缺，比之童乌九岁能与太玄。
康熙乙未进士，改编修，与修国史。
瑴成肄业蒙养斋，以故数学日进。
御制数理精蕴、历象考成诸书，皆与分纂。
所著增删算法统宗十一卷，赤水遗珍一卷，操缦卮言一卷。
明代算家，不解立天元术，瑴成谓立天元一即西法之借根方，其说曰；“尝读授时历草求弦矢之法，先立天元一为矢，而元学士李冶所著测圜海镜，亦用天元一立算。
传写鲁鱼，算式讹舛，殊不易读。
明唐荆川、顾箬溪两公互相推重，自谓得此中三昧。
荆川之说曰：‘艺士著书，往往以秘其机为奇，所谓天元一云尔，如积求之云尔，漫不省其为何语。’
而箬溪则言：‘细考测圜海镜，如求城径，即以二百四十为天元，半径即以一百二十为天元，即知其数，何用算为？似不必立可也。’
二公之言如此，余于顾说颇不谓然，而无以解也。
后供奉内廷，蒙圣祖仁皇帝授以借根之法，且谕曰：‘西人名此书为阿尔热八达，译言东来法也。’
敬受而读之，其法神妙，诚算法之指南，而窃疑天元一之术颇与相似。
复取授时历草观之，乃焕然冰释，殆名异而实同，非徒似之而已。
夫元时学士著书，台官治历，莫非此物。
乃历久失传，犹幸远人慕化，复得故物。
东来之名，彼尚不忘所自，而明人视若赘疣而欲弃之。
噫！好学深思如唐、顾二公，尚不能知其意，而浅见寡闻者，又何足道哉？
明史馆开，瑴成与修天文、历志，呈总裁书曰：
一历志半系先祖之藁，但屡经改窜，非复原本，其中讹舛甚多。
凡有增删改正之处，皆逐条签出。
一，天文志不宜入历志，拟仍另编。
盖历以钦若授时，置闰成岁，其术委曲繁重，其理精微，为说深长。
且有明二百七十馀年沿革非一事，造历者非一家，皆须入志。
虽尽力删削，卷帙犹繁。
若加入天文志之说，则恐冗杂不合史法。
自司马氏分历与天官为二书，历代因之，似不可易。
一，天文志例载天体、星座、次舍、仪器、分野等事，辽史谓天象千古不变，历代之志天文者近于衍，其说似是而非。
盖天象虽无古今之异，而古今之言天者，则有疏密之殊。
况恒星去极，交宫中星，晨昏隐现，岁岁有差，安得谓千古不易？
今拟取天文家精妙之说著於篇；其不足信者，拟削之。
又时宪志用图论曰：
客问于梅子曰；‘史以纪事，因而不创。闻子之志时宪也用图，此固廿一史所无，而子创为之，宜执事以为非体而欲去之也。
而子固执己见，复呶呶上言，独不记昌黎之自讼乎？吾窃为子危之！’
梅子曰：‘吾闻史之道贵信而直，余本不原为史官，总裁谓时宪、天文两志非专家不能办，不以为固陋而委任之。
余既不获辞，不得不尽其职。今客谓旧史无图而疑余之创，窃谓史之记事，亦视其信否耳，因、创非所计也。
夫后史之增于前者多矣，汉书十志，已不侔于八书，而后汉皇后本纪，与魏书之志释老，唐书之传公主，宋史之传道学，皆前史所无，又何疑于国史用图之为创哉？
且客未读明史耶？明史於割员弧矢、月道距差诸图，备载历志，何明史不疑为创，而顾疑余乎？’
客曰：‘后史增于前者，必非无因，若明史之用图，亦有说欤？’
梅子曰：‘疑以传疑，信以传信，春秋法也，作史者谁能易之？古之治历者数十家，大率不过增损日法，益天周，减岁馀，以求合一时而已。
即太初之起数锺律，大衍之造端蓍策，亦皆牵合，并未能深探天行之故，而发明其所以然之理。
本未尝有图，史臣何从取而载之？至元郭太史修授时，不用积年日法，全凭实测，用句股割员以求弦矢，于是有割圜诸图载于历草。
作元史时，不知采摭，则宋、王诸公之疏也。
明之大统，实即授时。
本朝纂修明史诸公，以义非图不明，遂采历草入志，其识极超。
复经圣君贤相鉴定，不以为非体而去之，俾精义传于无穷，洵足开万古作史者之心胸矣。
至于时宪立法之妙，义蕴之奥，悉具于图，更不可去。
如必以去图为合体，岂以明史为非体，而本朝之制不足法欤？
且客亦知时宪之图所自来乎？我圣祖仁皇帝悯绝学之失传，留心探索四十馀年，见透底蕴，始亲授儒臣，作图立说，以阐明千古不传之秘，即御制历象考成是也。
余亲承圣训，实与汇编之列。
彼前辈纂修明史，尚不忍没古人之善，创例以传之。
而余以承学之臣，恭纪御制，顾恐失执事之意，而迁就迎合，以致圣学不彰，贻误后学，尚得谓之信史乎？
不信之史，人可塞责，而何用余越俎而代之？
余之呶呶，非沽直，不得已也。
然则韩子之自讼，亦谓其言之可以已者耳。
使韩子果务为容悦以求幸免，则诤臣之论，佛骨之表，又何为若是其侃侃哉？’
客唯唯而退。
又仪象论曰：‘齐政授时，仪象与算术并重。盖非算术，无以预推节候以前民用；非仪象，无以测现在之行度，以验推步之疏密，而为修改之端也。虞书‘璇玑玉衡’，为仪象之权舆，其制不传。汉人创造浑天仪，即玑衡遗制，唐、宋皆仿为之。至元始有简仪、仰仪、闚几、景符等器，视古加详矣。明于齐化门南倚城筑观象台，仿元制作浑仪、简仪、天体三仪，置于台上，台下有晷影堂，圭表壶漏，国初因之。康熙八年，命造新仪，十一年，告成，安置台上，其旧仪移藏他室。五十四年，西人纪理安欲炫其能而灭弃古法，复奏制象限仪，遂将所遗旧器用作废铜，仅存明仿元浑仪、简仪、天体三仪而已。所制象限仪成，亦置台上。按明史云：‘嘉靖间修相风杆及简、浑二仪，立四大表以测晷影，而立运仪、正方案、悬晷、偏晷，具备于观象台，一以元法为断。’余于康熙五十二三年间，充蒙养斋汇编官，屡赴观象台测验。见台下所遗旧器甚多，而元制简仪、仰仪诸器，俱有王珣、郭守敬监造姓名。虽不无残缺，然睹其遗制，想见创造苦心，不觉肃然起敬也。乾隆年间，监臣受西人之愚，屡欲废台下馀器作铜送制造局，赖廷臣奏请存留，礼部奉旨查检，始知仅存三仪，殆纪理安之烬馀也。夫西人欲藉技术以行其教，故将尽灭古法，使后世无所考，彼益得以居奇，其心叵测。乃监臣无识，不思存什一於千百，而反助其为虐，何哉？乾隆九年冬，有旨移置三仪於紫微殿前，古人法物，庶几可以永存矣。’
又论句股曰：‘句股和较相求，言算学者莫不留心，其法可谓详且备矣，未有以句股积与句弦和较为问者。元学士李冶著测圜海镜，用馀句、馀股立算，神明变化，几如五花八门，亦未及此。岂俱未计及耶？抑有其法而遗之耶？统宗少广章内，虽有句股积及句弦较两题，乃偶合于句三股四之数，非通法。昔待罪蒙养斋，汇编数理精蕴，意欲立法以补其缺。先用平方辗转推求，皆不能御，思之累日，而后得用带纵立方求句股二法。’
卒，年八十有三，谥文穆。
钫，字导和，瑴成第四子也。瑴成纂丛书辑要六十馀卷，图皆所绘。删订统宗图，十之七八，皆出其手。年二十六，卒。
文鼐，字和仲，文鼎从弟也。初学历时，未有五星通轨，无从入算。与兄文鼎取元史历经，以三差法布为五星盈缩立成，然后算之，共成步五星式六卷。早卒。
文鼏，字尔素，文鼎季弟也。著中西经星同异考一卷。以三垣二十八宿星名，依步天歌次第，胪列其目，而以中、西有无多寡分注其下，载古歌、西歌于后。古歌即步天歌，西歌则利玛窦所撰经天该也。其南极诸星，则据汤若望算书及南怀仁仪象志，为考证补歌，附之于末。其发凡略言：‘齐七政，非先定恒星，则无从著手。故曰‘七政如乘传，恒星其地志也；七政如行棋，恒星其楸局也。’曰‘恒’者，谓其终古不易；曰‘经’者，谓其不同纬星南北行，‘经’亦有‘恒’之义焉。是编专以中、西两家所传之星歌星名考其多寡同异，故曰经星同异考。星官之书，自黄帝始，重黎、羲和，志天文者，纷糅不一。汉张衡云：‘中外之官常明者百有二十四，可名者三百二十，为星二千五百，微星之数盖万一千五百二十。’至三国时，太史令陈卓始列甘、石、巫咸三家所著星，总二百八十三官，一千四百八十四星。自唐以来，以仪考测，迨宋两朝志，始能言某星去极若干度，入某星若干度，为说较详。此中国之言星学者。西儒星学远有端绪，据其书所译，周赧王丙寅古地末一测，汉永和戊寅多禄某一测，明嘉靖乙酉尼谷老一测，万历乙酉第谷一测，崇祯戊辰汤若望一测。国朝康熙壬子，南怀仁著仪象志，又依岁差改定黄经及赤经。今依南公志表，稽其大小，分为六等。一等大星一十有六，二等星六十有八，三等星二百有八，四等星五百一十有二，五等星三百四十有二，六等星七百三十有二，总计一千八百七十八。其微茫小星，则不能以数计。此泰西之学也。’
文鼏又有累年算稿，文鼎为录存，名曰授时步交食式一卷。又有几何类求新法，算书中比例规解，本无算例，文鼎作度算，用文鼏所补，而参之以陈荩谟尺算用法。
明安图，字静庵，蒙古正白旗人。
官钦天监监正。
受数学於圣祖，预修御定历象考成后编、御定仪象考成。
因西士杜德美用连比例演周径密率及求正弦、正矢之法，知其理深奥，索解未易，因积思三十馀年，著割圜密率捷法四卷。
一曰步法，於杜氏三法外，补创弧背求通弦、求矢法，仍杜氏原法，但通加一四除耳。
又弦、矢求弧背，并通弦、矢求弧背，凡六法，合杜氏共成九法。
其弦求弧背法，以弦为连比例二率，半径为一率，求得二、四、六、八、十诸率，以一、三、五、七、九之五数各自乘，为累次乘数。
二、三、四、五、六、七、八、九相挨，两两相乘，为累次除数，即用二率为第一得数。
复置四率，以第一乘数乘之，第一除数除之，为第二得数。
又置六率，以第一、第二乘数乘之，第一、第二除数除之，为第三得数。
又置八率，以第一、第二、第三乘数乘之，第一、第二、第三除数除之，为第四得数。
如是累求，至所得数祗一位止，乃并之，即所求之弧背也。
矢求弧背法，倍正矢为连比例三率，亦以半径为一率，求得五、七、九、十一诸率。
以一、二、三、四、五之五数各自乘，为屡次乘数，三、四、五、六、七、八、九、十相挨，两两相乘，为屡次除数，即用三率为第一得数。
复置五率，以第一乘数乘之，第一除数除之，为第二得数。
又置七率，以第一、第二乘数乘之，第一、第二除数除之，为第三得数。
又置九率，以第一、第二、第三乘数乘之，第一、第二、第三除数除之，为第四得数。
如是累求，至所得数祗一位而止。
开平方，即所求之弧背也，通弦求弧背，亦各加一四除。
矢求弧背，则三率又多加一四。
因更创馀弧求弦矢，馀弦矢求本弧，及借弧与正、餘弦互求四术。
二曰用法，以角度求八线，及直线、弧线、三角形边角相求，共设七题。
谓今法所以密於古者，以用三角形也。
然三角形非用八线表不能相求，惟用此法，以之立表则甚易，以之推三角形，则不用表而得数同。
三、四两卷曰法解，皆阐明弦、矢与弧背相求之根。
其法先以一分弧通弦求二分弧通弧弦之数，次以一分、二分弧通弦求三分、四分全弧通弦之数，以一分三分弧通弦求五分全弧通弦之数。
又因二分、五分相乘得十分，十分自乘得百分，十分、百分相乘得千分，十分、千分相乘得万分。
遂以半径为一率，一分弧通弦为二率，各如相乘之率数，求得十、百、千、万诸分弧率数。
比例得弧背求通弦，应减四率二十四分之一，加六率八十分之一，减八率一百六十八分之一，加十率二百八十八分之一，减十二率四百四十分之一，加十四率六百二十四分之一，减十六率八百四十分之一。
各四归之，则二十四得六，为二三相乘数；八十得二十，为四五相乘数；一百六十八得四十二，为六七相乘数；二百八十八得七十二，为八九相乘数；四百四十得一百一十，为十与十一相乘数；六百二十四得一百五十六，为十二与十三相乘数；八百四十得二百一十，为十四与十五相乘数。
故以二、三、四、五、六、七、八、九等数两两相乘，为屡次除数。
又以通弦求得二率一分多，四率一分，六率九分，八率二百二十五分，十率一万一千二十五分，十二率八十九万三千二十五分，十四率一亿八百五万六千二十五分，得后率分数为实。
各递降二等，使二率降为四率，四率降为六率，得前率分数为法。
以法除实，得四率一分，为一自乘数；六率九分，为三自乘数；八率二十五分，为五自乘数；十率四十九分，为七自乘数；十二率八十一分，为九自乘数；十四率一百二十一分，为十一自乘数；十六率一百六十九分，为十三自乘数：故以一、三、五、七、九等数各自乘为屡次乘数。
次求通弦法，求得十、百、千、万诸分弧正矢率数，比例得弧背求正矢，应减五率十二分之一，加七率三十分之一，减九率五十六分之一，加十一率九十分之一，减十三率一百三十二分之一，加十五率一百八十二分之一，减十七率二百四十分之一；
而十二为三四相乘数，三十为五六相乘数，五十六为七八相乘数，九十为九与十相乘数，一百三十二为十一与十二相乘数，一百八十二为十三与十四相乘数，二百四十为十五与十六相乘数，故以三、四、五、六、七、八、九等数两两相乘，为屡次除数。
又以正矢求得五率一分多，七率四分，九率三十六分，十一率五百七十六分，十三率一万四千四百分，十五率五十一万八千四百分，十七率二千五百四十万一千六百分，为后率分数，各递降二等为前率分数。
如前通弦法，除得五率一分为一自乘数，七率四分为二自乘数，九率九分为三自乘数，十一率十六分为四自乘数，十三率二十五分为五自乘数，十五率三十六分为六自乘数，十七率四十九为七自乘数，故以一、二、三、四、五等数各自乘，为屡次乘数。
书未成而卒，子新续之。
新，字景臻，安图季子。
充食俸生。
安图病且革，以所著捷法授之，新遵父命，与门下士陈际新、张肱共续成之。
陈际新，字舜五，宛平诸生。
官灵台郎，为监正。
续明安图割圜密率捷法，寻绪推究，质以生前面授之言。
至乾隆甲午，始克成书。
刘湘煃，字允恭，江夏人。
闻梅文鼎以历算名当世，鬻产走千馀里，受业其门，湛思积悟，多所创获。
文鼎得之甚喜，曰：‘刘生好学精进，启予不逮！’
其与人书曰：‘金、水二星，历指所说未彻，得刘生说，而后二星之有岁轮，其理确不可易。’
因以所著历学疑问嘱之讨论，湘煃为著订补三卷。
又谓历法自汉、唐以来，五星最疏，故其迟、留、伏、逆皆入于占，至元郭守敬出，而五星始有推步经度之法，而纬则犹未备。
西法旧亦未有纬度，至地谷而后有五星纬度，已在守敬后矣。
历书有法原、法数，并为历法统宗。
法原者，七政与交食之历指也；法数者，七政与交食经纬之表也，故历指实为造表之根本。
今历所载金、水，历指如其法以造表，则与所步之表不合，如其表以推算测天，则又密合，是历虽有表数，而犹未知立表之根也。
乃作五星法象五卷，文鼎深契其说，摘其要目为五星纪要。
湘煃又欲为浑盖通宪天盘安星之用，以戊辰历元加岁差，用弧三角法，作恒星经纬表根一卷，及月离交均表根、黄白距度表根各一卷，皆补新法所未及也。
所著又有论日、月食算稿各一卷，各省北极出地图说一卷，答全椒吴荀淑历算十问书一卷。
王元启，字宋贤，号惺斋，嘉兴人。
乾隆辛未进士，授将乐县知县。
究心律历句股之学，著书已刻者为惺斋杂著。
内有史记、汉书正譌两种，其正史记之譌者，为律书、历书、天官书各一卷；正汉书之譌者，为律历志上下二卷。
未刻者为历法记疑、句股衍、角度衍、九章杂论。
而句股衍一书，因繁求简，最为精晰。
分甲、乙、丙三集，甲集术原三卷，乙集纲要二卷，丙集晰义四卷。
甲集首卷通论术原，为句股因积求边张本。
二卷专论立方，因及平方法。
三卷专论和数开立方，所以尽立方诸数之变。
乙集两卷，为相求法百二十三则之纲要。
丙集四卷，即相求法，逐则分晰其义，专取发明立法之意。
其总序曰：‘句股弦相求法，参以和较，凡得七十八则，求句股中函数。’
又有幂积求容员、容方、容纵方，及依弦作底求容方，与句股求外方、外员之数。
又有积数与句股和较相求容方，与句股馀数相求之法。
综而计之，凡得二十九则。
立表测量，得求高、求远、求深三则，重表亦然。
旧算书多简略，详者又苦错出无绪。
间尝力为区别，使各以类从，先定相求法百十三则。
甲申仲秋，复理前绪，逐一布算，捷於旧法，而旧法仍附见，以资参考。
至以中函积与弦之所和、所较相求而得句、股、弦之正数，旧法罕见，今亦窃拟一法，以附於后。
又别创截弦分两，及补句求股、补股求句之法，分为六则，使不成句股之形，亦化为句股。
并载不成句股求中函积二则，容方、容员四则，外切员径一则，员内累求句股六则，凡又一十九则。
以该西术三角之算，兼备割员之用。
使学者知周髀一经，於术无所不该。
后人不能触类旁通，以尽其变，故使西术得出而争胜，其实西术亦出周髀，不能出折句为股之外也。
又略例引言曰：‘算家句股一门，为术最繁，非凿指一数以为布算之准，难以虚领其义。’
然如广三修四见於经者，特其正例，正例外变例尤多。
必欲正变兼呈，则一卷中彼此错出，使阅者耳目数易，转增烦愦。
兹特标举略例，亻并不成句股之形亦附见焉，以尽句股之变，而该三角之法。
又答友问句股书曰：‘欲求句股，先学开方，方有正方、纵方之异。’
纵方则以修广之和、较数开之，其次则求四率比例，有三率求四率之法，有二率求三率之法，又有一率求三率之法。
知此即可以知求句、股、弦各无零数法。
以三率之中率为主，倍中率为股，首末二率相减为句，相加为弦。
依此衍之，得句股略例十数则，然后以句、股、弦为正数，两数相加为和，相减为较。
又有句股三数相加减之和较数，弦与和，和弦与较和三数相加之和数也；弦与较，较弦与和较三数相减之较数也。
三数相加减，今名之为兼三和较。
凡正数和较之数各三，兼三和较各二，共十三数。
十三数中，随举两数，即可求句股弦全数。
凡得相求法九十四则，而容方、容员、截股分两、立表测量单表、重表之法，犹不与焉。
其次则求截弦分两之法，是为一句股分两句股，即可以知不成句股亦可以分两句股。
不成句股分两句股，即西法三角算之所由名，今则总以句股概之。
其法取大小两句股形，小股与大句同数者合为一形，即为不成句股之形。
分之为两，则所谓中垂线者，即小矩之股，大矩之句。
以此衍之，又得不成句股略例二十馀则。
依类推之，又得合形分两、削形求全二法。
合形分两，则有正合形截偶分两、反合形截中分两、偏合形截边分两之法。
削形求全，则有削去正矩、偏矩之殊，偏矩中又有浅削、深削之分。
知此则句股之学尽矣。
元启尝曰：‘我无他长，惟好学深思，心知其意而已。’
然其句股术一书，几欲驾梅文鼎而上之，为算术中不可少之书云。
朱鸿，字云陆，秀水人。
嘉庆七年进士，改翰林院庶吉士，散馆授编修。
擢御史，历给事中，出官督理湖南粮储道。
研精算学。
同郡钱仪吉譔三国会要，集乾象、景初二术成，尝为作注。
乌程陈杰时为台官博士，阳湖董祐诚亦客京邸，皆日从讲数，各出所得相质问。
旧无橢圆求周术，为祐诚言，圜柱斜剖，则成橢员，可以句股形求之。
祐诚既发明其说，系以图释。
初得杜德美割圜九术写本，以示祐诚，创图解三卷。
既成，复得密率捷法於李潢家，则蒙古监正明安图师弟续绎之书也，与传写本互异。
鸿曾依杜法步算，径一者，周三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六二六四三一八六三六七四七二二七九五一四，周十者，径三一八三零九八八六一八三七九零六七一五三七七六七五四六六九六三八九零五六六六一。
徐有玉采入务民义斋算学中。
道光十年后，辞官仍居京师，譔考工记车制参解。
又评程氏易畴考工创物小记，多所纠正云。
博启，字绘亭，满洲正白旗人。
乾隆中，官钦天监监副。
尝因句股和较之术，前人论之极详，独句股形中所容之方边、员径、垂线三事，尚缺而未备。
爰以三事分配和较，创法六十。
惜其书未刊，法不传。
今所传者，惟有方边及垂线求句、股、弦一题。
法用平行线剖容方幂为四小句股形，借垂线为小句股和，借方边为小弦，求小句小股。
以小股与垂线比，若方边与句比；以小句与垂线比，若方边与弦比。
道光初，方履亨官监正，每举此题课士。
其后得甘泉罗士琳力为表章，博术乃复明于世。
罗论云：
曩者闻方慎菴监正言绘亭监副有是法，失传。
因仿监副遗法，用平行线剖半员幂为四小句股形，以半圆径减垂线馀，借为小句股和，借半员为小弦，求得小句、小股。
以小股比垂线，若半员径比股；以小股比股，若半员径比弦。
又以半员径减方边，得较。
用平行线剖较幂为四小句股形，借半员径为小句股和，借较为小弦，求得小句、小股。
以小股比半员径，若方边比句；以小句比半员径，若方边比股，以小股比股，若较比弦。
用补副监之遗。
复用天元术演得三事和较六十题，更立天、地两元为广例二十五术，撰句股容三事拾遗四卷。
更试变通其术，御以八线，取方边用方斜率，得容方中之斜线。
以垂线为一率，半径为二率，斜线为三率，求得四率为正割。
检八线表得度用，与四十五度相加减，得垂线所分之大小两弧，副以半径为一率，垂线为二率，小弧正割为三率，求得四率为句。
如以大弧正割为三率，求得四率为股，又如以大小两弧之两正切为三率，求得四率，为大小两弧之两分弦，相并得弦馀。
二题仿此，其得数同，而尾数有奇零。
以八线表所列之数至单位止，单位以下，弃其馀分，故不能如句股与天元所得之密合。
或有妄诋天元术不能驭三角和较者，抑知天元创於宋、明之间，安能逆知西法之有三角而豫为立法？
要在学者善为会通耳。
试设平三角形，有一角而角在两边之中，有大边与对边和，有小边与对边和，求三道及垂线，此西人常法所不能御者。
若立天元一术，则任求何边或和数或较数，皆一平方即得。
然则天元之与西法，其优劣可见矣。
许如兰，字芳谷，全椒人。
乾隆三十年举人，大挑知县，分发福建。
因亲老改江西，历任浮梁、新建等县事。
丁忧服阕，赴福建，题补侯官，未履任，会瘴气发，病卒。
如兰性敏，所读书皆究心精妙，於历算始习西法，通薛凤祚所译天步真原、天学会通。
时同县山西宁武同知吴烺受梅文鼎学於刘湘煃，如兰因并习梅氏历算。
又于乾隆四十年夏，谒戴震于京都，受句股割圜记。
四十四年，谒董化星于常州。
戴传缉古算经十书，而董则专业薛氏者也。
由是兼通中、西之学。
尝谓其弟子胡早春曰：
古人以句股方程列于小学，童而习之，人人能晓，今则老宿不能通其义。
一则时尚帖括，视句股为不急之务；再则习为风雅，不屑持筹握算，效畴人子弟所为。
噫，过矣！
又谓：
士大夫不精弧矢之术，虽识天文，无益也。
畴人算工不明象数之理，虽能步算，无益也。
著有乾象拾遗、春晖楼集诸书，今多散佚。
其存者，有书梅氏月建非专言斗柄论后，略曰：
‘天气浑沦，无可识认，古人不得已，即以恒星为天以识日躔。’
‘恒星积久而差，冬至日躔不在原宿，始立岁差之法。’
‘古谓恒星不动，而黄道西移。’
‘今测普天星座皆动，其经纬之度，不随赤道运转，而顺黄道东移。’
‘故谓黄道不动，而恒星东行，与七政同一法。’
‘又谓：’
‘古人以中数为岁，朔数为年。’
‘上古气朔同日，故月建起於节气，而不起於中气；日躔过宫，起於中气，而不起於节气。’
‘起於节气，故曰冬至子之半；起於中气，故曰冬至日躔星纪之次也。’
‘然则一岁十二建，乃天道经历十二辰，故谓之月建，此万古不易者也。’
‘斗柄所指分位不真，且恒星东移，积久有差，辨之诚是也。’
‘但古人云：’
‘斗为帝车，斟酌元气而布之四方’。
‘又曰：’
‘招摇柬指。’
‘不过言天道无迹。’
‘可见顺时布化，斗柄有象可徵耳。’
‘拘泥其词，则惑矣。’
‘其岁差说略曰：’
‘恒星一年东行五十馀秒，又黄、赤二道斜交，并非平行，於左旋至速之中，微斜牵向右。’
‘日之於天，犹经纬之於日也。’
‘日行至黄道分至节气之限，则春秋寒暑皆随之而应。’
‘七政躔于各宫，遇各宫燥湿寒温风雨，则随恒星之性而应。’
‘然则冬、夏二至，乃黄道上子、午之位也。’
‘春、秋二分，乃黄道上卯、酉之位也。’
‘惟唐、虞时冬至日躔虚中，恒星之子中，正逢黄道之子中。’
‘嗣是渐差，而东周在女，汉在斗，今在箕。’
‘黄道之子，非恒星之子也。’
‘以丑宫初度为冬至者，因周时冬至恒星已差至丑，周人即以恒星为黄道之十二次，故命丑为星纪，言诸星以此纪也。’
‘其实丑乃周时恒星之宿度，并非恒星之子中。’
‘今并不在丑，又移至寅十馀度矣。’
‘由今箕一以上溯古虚五，历年四千有馀，已差至五十八度，此恒星东行之明验也。’
‘其他著论无关历算者不录。’
泰始明昌国文-古籍-清史稿-列传-卷二百九十三-译文
畴人一
薛凤祚、杜知耕、龚士燕、王锡阐、潘柽樟、方中通、揭暄、梅文鼎、子以燕、孙瑴成、曾孙钫、弟文鼐、文鼏、明安图子新、陈际新、张肱、刘湘煃、王元启、朱鸿、博启、许如兰。
历法的推算学问，从粗略到精密。西方的新法，在晚明时期开始传入中国，到了清朝，中西学问汇聚一堂，最终达到了顶峰。圣祖康熙天资聪颖，研究历法和数学，精妙地理解了其中的深奥。一时间，学习这些学问的人越来越多，人才辈出。两百年来，历法推算的学问日益精密，不仅清理了古代学问的混乱，还补充了西方学问的不足。嘉庆初年，阮元撰写了《畴人传》，后来的学者们也相继续写，从唐朝、宋朝以来，这方面的学问达到了鼎盛。现在挑选那些杰出的名家，将他们的生平事迹和著作记录在篇中，那些在政治、文学上有所成就，或者在西人官钦天监任职，有传记的，就不一一列举了。
薛凤祚，字仪甫，是淄川人。年轻时学习算术，跟随魏文魁学习，主持旧法。顺治年间，与法国人穆尼阁讨论算术，开始学习西方学问，全面学习了他们的技术，因此撰写了《算学会通正集》十二卷，考验二十八卷，致用十六卷。他所说的对数比例，是西方算术中用假数求真数的简便方法；所说的中法四线，是用西方的六十分度，不便于十进制，改为古法，以百分度为单位，所列出的只有正弦、余弦、正切、余切，因此称为四线。他推算的书籍有：《太阳太阴诸行法原》、《木火土三星经行法原》、《交食法原》、《历年甲子》、《求岁实》、《五星高行》、《交食表》、《经星中星》、《西域回回术》、《西域表》、《今西法选要》、《今法表》，都是结合中西方来制定法则的。以顺治十二年乙未年冬至为起点，所有计算都从这里开始。以三百六十五日二十三刻三分五十七秒五微为岁实，黄道和赤道的交角有加减，恒星每年移动五十二秒，与天步真原法相同。梅文鼎认为他的书在方法上很详细，但没有快速论述来发挥其趣味，大概是因为当时新法刚开始流行，中西方文字相互转译，所以言辞表达不够流畅。然而，他在中西方学问上的贯通，无愧于一代畴人的首位。
凤祚确定的岁实秒数为五十七，与牛顿相同，与穆尼阁认为的四十五秒不同，这说明他的学问并非墨守穆氏。有人批评他谨守穆尼阁的成法，依数推演，这不是正确的观点。
杜知耕，字端甫，号伯瞿，是柘城举人。精通几何学，对利玛窦、徐光启所译的《几何原本》进行了删减，撰写了《几何论》七卷，后面附有十条，是杜知耕所写。他说这些方法在原书中没有，但其原理实际上包含在各个题目中，并不是在原书之外创造新的意义。称后面附有的，是为了区别于丁氏、利氏所增补的题目。他还杂取各家算学，参考西方的说法，依照古九章的体系，撰写了《数学钥》六卷。他说数学如果不通过图来解释就不明确，图如果不指明就不明确，图中的甲乙等字作为标记，代替指示，所以他的书在图解上特别详细。梅文鼎称赞他的图解注释九章，非常准确。
龚士燕，字武任，是武进人。年轻时就聪明异常，能写文章，研究性理，旁通算术，发明了蔡氏律吕新书，推演了黄钟圆径、开方密率等方法，尤其对元太史郭守敬的授时术特别得其精髓。比如求冬至时刻，上推百年加一算，认为在三百六十五日二十四刻二十五分之内，满百年消长一分。核对《春秋》中记载的三十七次日食，大多与实际相符。又如推算晦、朔、弦、望，以太阳的盈和太阴的迟，以及太阴的疾和太阳的缩，都是同名相随；以太阳的盈和太阴的疾，以及太阴的迟和太阳的缩，都是异名相消：从而得到盈缩迟疾转化为加减时刻的差异。用这个加减朔望的大、小余分，得到定朔弦望的时刻。至于盈、缩、迟、疾，郭守敬创制了平、立、定三差，理论深奥，计算复杂，能够掌握其关键，通过绘图来阐明。
又如赤道变黄道的方法，认为在二至之后，用度率一零八六五除赤道积度变为黄道宿度；在二分之后，用度率一零八六五乘赤道积度变为黄道宿度。所有的授时方法，都由此引申而来。其他的月离五星等方法，与回回、西洋诸算，遇到疑难问题，都能一一洞悉。至于日、月体的大小，交食限数的深浅，都充分显示出其奥妙。他还领悟了唐顺之弧容直阔的方法，用来推求太阴出入黄道，在内或在外，不离六度。从此，所有七政、气朔、交食等方面，按照方法推算，百不失一。
康熙六年，皇帝下诏征集天下懂得算术的人，于是他进入都城。当时钦天监使用的大统算七政多与天象不符，奉旨每天在观象台进行测验，而金星的计算误差达到十度。因此修改古法，根据七年所测的表景推测太盈缩，又根据日测五星行度，考察其迟疾。通过相互推求加减，气、闰、转、交等相应变化，测验都与天象相符。他的方法也是基于郭守敬的，太阳为气应，推算冬至日躔时使用；太阴周天为转应，朔望时使用；日月地球的运动都在同一直线上，视点上为交应，推算日月食用；合气盈、朔虚的奇零为闰应，推算闰月时使用；此外，还有金、木、水、火、土同聚一宿为合应，推算五星时使用。
修改了各种应法，以顺治元年甲申年为起点，以应世祖章皇帝抚有中夏之祥，钦天监命名为‘改应法’。修改了气、闰、转、交等应法，又修改了迟、疾限及求差等方法，又修改了冬至黄道日出分依步中星内法。盈缩迟疾无积度，日食无时差，都与天象相符。台官上奏推荐。八年，历书完成，在武英殿奏对，授予历科博士。当时有人向朝廷推荐西方的南怀仁等人，以及他们实测的方法，验证后发现既准确又快捷，于是决定使用西方的方法，而古历最终没有被采用。
十年，因病返回家乡，著有《象纬考》一卷、《历言大略》一卷。他的《天体论》一卷以及闇虚、中星、交食、定朔、五星等论述都已失传。
王锡阐，字晓菴，是吴江人。他既通晓中土的学问，又了解西方的学问，自己创立了新的方法，用来测量日食和月食，误差不超过一秒。每当天气晴朗，他就登上屋顶，躺在鸱吻上观察星象，整夜不睡觉。他著有《晓庵新法》六卷，序言中说：‘炎帝时期的八节，是历法的起源，但书籍没有流传下来。黄帝、虞、夏、殷、周、鲁这七代的历法，先前的学者认为是伪造的。现在这七代的历法都保存了下来，大致与汉代的历法相似，但关于章蔀气朔的具体情况，没有看到真正的内容，所以怀疑是汉代人所托。太初、三统，虽然方法有些疏远，但创始的功绩是不应该被抹去的。刘洪、姜岌依次阐明了这些方法，何承天、祖冲之专力研究表、圭，更加精确。从那时起，南北方的历象学者，都能好学深思，有很多推论，都不是浅显易懂的。唐代的历法《大衍历》较为精密，但开元甲子年应食未食，一行为了自辩而写了谄媚之词，这难道不是因为误差而寻求吻合吗？’
又说：‘明初元统造《大统历》，因为郭守敬的遗法，增损不超过百分之一，难道守敬的方法真的能超越前人吗？守敬治理历法，首先重视测日，我曾经取他的表景，反复计算，结果前后矛盾。我所创新改进的，很多都不是精确的比例。在那时已经有了失食失推的错误，何况遗留下的书籍散失，方法的意义无法考证。再加上时间久远，累积的误差越来越多，怎能因循守旧不变呢？元朝的技艺不如郭守敬，朝中的大臣也不如元朝的人，最终使得昭代的大典，继承的是简陋和伪造。尽管有李德芳苦苦争论，但李德芳不能推理，只是固守陈词，无法取胜，真是令人叹息！’
又说：‘万历末年，西方的利玛窦来到中国，很擅长历法计算。崇祯初年，皇帝命令礼部大臣徐光启翻译他的书籍，有历法作为法原，历表作为法数，书有一百多卷，几年才完成，于是盛行于世。谈论历法的人没有不把它当作经典的。我认为西方的历法是好的，但认为测量精密可以，认为深刻理解法意却不可。遵循其理寻求通晓可以，安于错误而不去分辨却不可。仅举其概要：二分是指春秋平气之中；二至是指日道南北之中。大统历以平气授人时，以盈缩定日躔。西方人既然使用定气，那么分、正就合为一，因此批评中历节气差至二日。中历的岁差数很大，盈缩过多，怎能没有误差？然而二日的差异，是分、正的不同，并不是不知道日行有盈缩而导致的错误。历法指摘中历，却不知道法意是一致的。各家造历，必然有积累多年的日法，多少随意，牵合由人。守敬去掉积累多年的日法，从辛巳年开始，摒弃日法而以万分断定，这是真正的见识。西方历法命日时以二十四，命时之分以六十，总计一日为一千四百四十分，这又重新使用了日法。至于刻法，他们没有。最近才开始每时四分之，为一日之刻九十六。他们先求度数而后日，还没有觉得繁琐，施用于中历就阻塞了。却坚持西方的方法，反而说中历百刻不适用，为什么？而且日食时差法之九十六，与日刻之九十六有什么关系？却以此为依据，不知道法意是二。天体浑然一体，最初没有度分可以指认，古人因为一日日躔命为一度，日行有快有慢，断以平行，数本来顺应天意，不可增减。西方人去掉周天五度有奇，缩为三百六十，不过是为了方便分割圆周，难道真的天道就是这样吗？而他们偏要同党异己，必定说日度为非，难道三百六十度就不是天真的度数吗？不知道法意是三。
上古置闰，在岁终时进行，因为历法粗疏，计算年份需要置闰。中古的方法越来越精密，开始以月来置闰，而闰月放在积终，所以用中气来定月，没有中气的月就是闰月。大统历专用平气，置闰必须得到那个月，新法改用定气，导致一个月有两个中气的时候，一年有两个可以置闰的月，就像辛丑年的西历那样，不是也很矛盾吗？月没有平中气的，是积累的余数之终，没有定中气的，就不是那个月。不能虚心深入考察，却以粗略的习惯，夸大支离的学问，所以在归余之后，气还在晦暗之中；季冬的中气，已经进入仲冬；首春的中气，即将进入腊月末。不得已退朔一日以符合人们的期望，也可见其技术的局限，不知道法意是四。
天正日躔，本起子半，后来因为岁差，从丑到寅。至于合神的说法，是星命家的俗语，明白道理的人不会这么说。西方人自称历法宗师，怎么会反而被迷惑，说天正日躔定起丑初呢？何况十二次命名，都依照星象，如随节气迁移，即使子午不妨异地，难道玄枵、鸟咮也没有定位吗？不知道法意是五。
岁实消长，始于统天，郭氏使用它，却不知道为什么使用；元氏去掉它，却不知道为什么去掉。西方人知道以日行最高求之，却不知道以二道远近求之，得到其一而遗其一。应当分辨的是一。岁差不齐，必然因为天运的缓急不同，现在想要归为偶差，难道之前的各家都是胡作非为吗？黄、白异距，生交行之进退；黄、赤异距，生岁差之屈伸；这个道理是一。历法指摘已经明确了月，为何对日却遮遮掩掩？应当分辨的是二。
日躔盈缩最高，运转古今不同，按照臆见，必有定数。不仅日月星相应同，只是运行速度和差值微小，不是一生岁月所能测量的。西方人自诩有数千年的传承，为什么也没有定论？应当分辨的是三。
日月去人时分远近，儿径因分大小，那么远近大小，应当为相似的比例。西方历法日则远近差多，而儿径差少；月则远近差少，而儿径差多。根据数值求理，难以会通。应当分辨的是四。
日食变差，关键在交分，日轨交分，与月高交分不同；月高交于本道，与交于黄道者又不同。历法指摘不详其理，历表不著其数，难道黄道一术就能穷尽日食的变化吗？应当分辨的是五。
中限左右，日月儿差，时或一东一西。交、广以南，日月儿差，时或一南一北。这是儿差异向与儿差同向者加减迥别，历法指摘难道因为不常遇到，所以不提吗？万一遇到，学者怎么计算？应当分辨的是六。
日光射物，必有虚景，虚景，是光径与实径所生成的。暗虚常缩，理不出此。西方人不知道日有光径，仅以实径求暗虚。等到推算不符合，又减少径分以希求偶然吻合。应当分辨的是七。
月食定望，只有食甚时是这样的，亏复四限，距望有差。日食稍离中限，即食甚已非定朔。至于亏复，相去更远。西历却说交食必在朔、望，不用盈缩次差。应当分辨的是八。
又说：‘说起来历法，走起来很难，辨析起来却很容易。’这句话的意思是说，天象和星宿繁多，得失没有地方可以隐藏。根据他所说的，也未曾自信没有误差。五大行星的经度，有的误差超过二十多分，交食时的表验，有的误差几分，交食时误差应该以刻来计算；凌犯时误差应该以日来计算。所以，制定历法不久，就出现了很多错误，我已经对历法中的几个问题进行了辨析。比如癸卯年七月十五日的月食，预测的既不既（即月食的完全与否），与那些预测失误的人有什么区别呢？而且，翻译书籍的时候，本来是说取西方历法的材料，回归大统的范式，并不是说完全废弃现有的成规，而只使用西方的方法，就像现在这样。所以我综合了中西方的方法，去除了其中的瑕疵，结合自己的见解，撰写了六篇历法，综合了一些事情，改正了一些事情，表明了一些事情，增补了一些事情，制定了若干事情。旧法虽然有所错误，但并没有立即废弃，保留下来；道理虽然可以知道，但上下千年都没有准确数字的，就缺失了；虽然得到了数字，但远引古测，未经目信的，就另外补充，正文仍然保留原来的说法。写了百几十天，写了万有千言，不敢妄言窥探其深奥，希望对初学者有所帮助。
其法：度法百分，日法百刻，周天三百六十五度二十五分六十五秒五十九微三十二纤，内外准分三十九分九十一秒四十九微，次准九十一分六十八秒八十六微，黄道岁差一分四十三秒七十三微二十六纤。列宿经纬：角一十度七十三分七十九秒，南二度一分二十三秒，亢一十度八十二分二十四秒，北三度一分一秒，氐一十八度一十六分一十四秒，北四十三分九十六秒，房四度八十三分六十三秒，南五度四十六分一十九秒，心七度六十六分二秒，南三度九十七分三十八秒，尾一十五度八十二分七十八秒，南一十五度二十一分九十秒，箕九度四十六分九十六秒，南六度五十九分四十九秒，南斗二十四度一十九分八十二秒，南三度八十八分九十三秒，牵牛七度七十九分五十五秒，北四度七十五分一十七秒，婺女一十一度八十二分二秒，北八度二十分五十九秒，虚一十度一十二分九十一秒，北八度八十二分七十秒，危二十度四十一分四秒，北一十度八十五分六十二秒，营室一十五度九十二分二十秒，北一十度七十一分七十一秒。
在此之前，晓菴的新法尚未完成，写了六篇历说，一篇历策，其中的说法精密核要，与新法各有详略。又隐括中西方的步术，写了《大统西历启蒙》。丁未年，因为推步大统法写了《丁未历稿》。辛酉年八月朔日食，用中西方方法及自己的方法预先确定时刻分秒，到了那一天，与徐发等人用五家方法共同测量，只有自己的方法符合，写了《推步交朔测小记》。又因为治历首先重视割圆，写了《圜解》。测量天空应当根据仪晷，制作了三晷，同时测量日、月、星，因此写了《三辰晷志》。都能探究术数之微妙，补充西方人所不及。与同时代的青州薛凤祚齐名，被称为‘南王北薛’。
历策中有云：‘每遇到交会，必定用所推算的、所测量的来比较疏密，疾病寒暑无间，变化周、改应、增损、经纬、迟疾等各种比率，在这三十年中。’也可以想见作者实测的用力之处。
潘柽樟，字力田。与王锡阐同乡友好。王锡阐曾经在他家讲学，讨论算法，常常通宵达旦。潘柽樟著有《辛丑历辨》说：‘从前尧帝命令羲和，说用闰月来确定四时和一年的完成，历法首先重视置闰。而《春秋传》中说：‘先王正时，始于端始，中于正中，终于归余。’所说的始，是指取气朔分齐作为历元；所说的中，是指月以中气为定，没有中气的就作为闰月；所说的终，是指积气盈、朔虚的数而闰月产生。自汉以来，历法虽然屡次变化，但没有能够改变这个原则。只有西域的历法不是这样，它们有闰年、有闰日，但没有闰月。中历以日为主，西历以度为主，不能勉强相同。现在制定西历的人，竟然用日躔来求定气、求闰月，不仅完全废弃了中国现成的成规，也违背了西域的根本方法。所以十多年来，宫度已经混乱，气序也出现了错误。比如戊子年的闰三月，却放在了四月；庚寅年的闰十一月，却放在了明年二月；癸巳年的闰七月，却放在了六月；己亥年的闰正月，却放在了三月。其错误之处，难以言尽！然而不是对历法有深刻理解的人，不容易指出。至于辛丑年的闰月，其错误显然无法自圆其说。为什么呢？闰法论平气而不应当论定气，如果以平气来论，那么那年的小雪在十月晦日，冬至在十一月朔日，闰月就在两个月份之间。所谓闰前之月中气在晦日，闰后之月中气在朔日。现在以定气来论，秋分在九月朔日，所以预先在七月朔日置闰，然后秋分仍在八月，霜降、小雪各自回到各自的月份。然而大寒的定气却在十一月朔日，而十二月又没有中气，既不能再次置闰，那么就是同一个没有中气的月份，有时闰有时不闰。他们所说的太阳不及交宫就置为闰的，为什么独独在这个地方违背自己的方法呢？因为孟秋不是归余的终，所以天正不能始于端始，地正不能中于正中。如此，四时不定，岁功不成，而闰法又有什么用呢？而且壬寅年正月，定朔旧法在丙子丑初，即他们的方法也在丙子子正，那么辛丑年的季冬应当是大尽之月，而明年正月中气又移到了今年年底。他们也自觉其不妥，所以将岁朔提前到乙亥，季冬成为小尽之月，这都是所谓欲盖弥彰的事情。即使辛丑年的岁朔，按照他们的方法推算，应当会合于亥正，而现在却在戌正，相差六刻，其他的矛盾之处，更难以一一列举。唉！制定这样的方法，却还自以为尽善尽美，可以吗？他们的说法以日行盈缩为节气长短，每当日行最盈时，一个月可以置一个气，这是古有气盈、朔虚，而今更有气虚、朔盈了。然而有时晦朔两节而中气介于其间。比如丙戌年的仲冬，离闰月稍远，还可以不论；只有辛丑年的仲冬，冬至、大寒都在晦朔，离闰月最近，进退无据。迁就苟且，弊端难以言尽。闰法以平气为主，已经实行了几千年，现在一变其术，不久就陷入了困境，以至于无可奈何，那么又何必频繁更改呢！’潘柽樟后来因为法死。他的弟弟潘耒，也学习历法算术，见于文苑传。
方中通，字位伯，是桐城人。他汇集了各家学说，撰写了《数度衍》二十四卷，附录一卷。书中说：‘九章算法都源于勾股定理，以圆规画圆，以矩尺画方，方数是经典。方数可以生成圆数，这是勾股定理产生的；少广是方圆的基础。方田、商功都源自少广。一方一圆，它们之间不一致，开始出现差分，而均输对差分进行计算，通过盈朒借差来求均。差分和均输又衍生出方程，用以解决难题。度量衡起源于黄钟，粟布由此产生，黄钟是由方圆计算得来的。’他又说：‘古时候用竹子直径一寸，长六分二百七十一根，编成六觚为一握，后世有了珠算，古法就失传了。西方的笔算、筹算，都源于九九乘法表。尺算即比例规，源于三角学。乘法最好用筹算，除法最好用笔算，加减最好用珠算，比例最好用尺算。’珠算的方法，比如三一三十一，四一二十二等，‘十’字都写作‘余’字。尺算的方法是以三尺相交，取数只需平分一线。
当时广昌的揭暄也精通算术，与方中通讨论日轮的大小，解释了光肥影瘦的原因，以及古今岁差的不同，需要通过测算消长来调整。一昼夜人呼吸一万三千五百次，每次呼吸带动天行十万里。
揭暄，字子宣，是广昌人。他著有《璇玑遗述》七卷，又名《写天新语》。他论述了日月东行如槽中滚球，月质不变的观点。他还提到七政的小轮都是自然产生的，就像盘水旋转一样，形成旋涡，进而形成留逆。对于五星西行、日月盈缩，他都设了许多比喻，言之有理。康熙己巳年，他将草稿寄给梅文鼎，梅文鼎抄录其精华为一卷，称赞他‘深明西方数学，又有独到见解，其言多古今未发’。他去世时已超过八十岁。
梅文鼎，字定九，号勿庵，是宣城人。他小时候跟随父亲士昌和塾师罗王宾观测星象，就能清楚地了解星宿的运行规律。二十七岁时，他拜竹冠道士倪观湖为师，学习了麻孟旋所藏的台官交食法，与弟弟文鼐、文鼏共同学习。他逐渐发现了立法的原因，补充了遗漏之处，著有《历学骈枝》二卷，后来增加到四卷，倪观湖对此表示赞同。
遇到难以读懂的书籍，他一定要弄清楚其中的道理，常常是废寝忘食。残编散帖，他亲手抄集，对一字一句都不敢忽视。同行的子弟和西域的学生，都谦虚地前来拜访，有疑问的，他也详细解答，毫不保留。他所著的历算书籍共有八十多种。
他阅读《元史·授时历经》，感叹其方法的优点，写了《元史历经补注》二卷。又因为《授时集》汇集了古代历法的精华，所以他参考校对了七十多家古术，著有《古今历法通考》七十多卷。通过六术来研究古今冬至，他选取鲁献公冬至证统天术的疏文，按照其方法进行计算，结果与《授时集》所得完全相同，写了《春秋以来冬至考》一卷。
《元史》中的西征庚午元术，西征指的是太祖庚辰年；庚午元指的是上元起算的开始。历志将太祖庚辰误写为太宗，不知道太宗没有庚辰年。又将上元误写为庚子，这与积年不符。经过考证，他写了《庚午元算考》一卷。
《授时集》的方法非其他古术所能比，郭守敬所著的《历草》是《授时集》立法的基础，他挑选其中精微之处，写了《郭太史历草补注》二卷。立成传写鲁鱼，如果不能理解其说法，就不敢随意使用，写了《大统立成注》二卷。
《授时集》的方法在日躔盈缩、月离迟疾的计算上，都使用了垛积招差的方法，而《九章算术》中并没有这种算法，从未有人能解释其原理，他写了《平立定三差详说》一卷，这是对古法的发明。
唐九执术是西方数学的起源，其后有婆罗门十一曜经及都聿利斯经，都属于九执的范畴。在元朝有札马鲁丁的西域万年术，在明朝有马沙亦黑、马哈麻的回回术、西域天文书，天顺时具琳所刻的天文实用书，就是以此为依据，他写了《回回历补注》三卷，《西域天文书补注》二卷，《三十杂星考》一卷。
表景的产生与日轨的高低有关，日轨又因里差而变化，他写了《四省表景立成》一卷。
周髀所说的里差法，就是西方人所说的来源，他写了《周髀算经补注》一卷。
浑盖之器，最便于进行测量，他写了《浑盖通测宪图说订补》一卷。
西方国家以太阳行黄道三十度为一月，他写了《西国日月考》一卷。
西方数学中的细草，就像《授时集》中的通轨一样，以历指大意隐括而注之，他写了《七政细草补注》三卷。
新法中的交食蒙求、七政蒙引二书，都遗失了，他写了《交食蒙求订补》二卷、附说二卷。
监正杨光先不得已而制作日食图，将金环食与食甚分为二图，各有时刻，其错误不小，他写了《交食作图法订误》一卷。
新法以黄道求赤道交食，细草用仪象志表，不如弧三角的亲切，他写了《求赤道宿度法》一卷。
他说中、西两家方法，求交食起复方位，都以东、南、西、北为言。然而只有当日月行至午规而又接近天顶时，四方各正其位。否则，黄道有斜正之别，从亏到复，经历时刻，辗转迁移，弧度之势，顷刻易向。而且北极有高有低，而随地所见必皆不同，难以施于测验。现在他提出了新的方法，不使用东、南、西、北的标识，只根据人所见的日月圆体，分为八向，以正对天顶处为上，对地平处为下，上下联为直线，作十字横线，命名为左、右，这四个正向；上左、上右，下左、下右，则是四个隅向。以此确定受蚀的位置，则一目了然，他写了《交食管见》一卷。
太阳的日差，就像月离交食的加减时，因为表说含糊有误，他写了《日差原理》一卷。
火星最为难算，至地谷而始密，他解其立法之根，写了《火纬图法》一卷。
他订正了火纬表记，涉及七政，写了《七政前均简法》一卷。
《天问》略取纬不真，而列表从之误，他写了《黄赤距纬图辨》一卷。
新法中的帝星、句陈经纬刊本互异，他写了《帝星句陈经纬考异》一卷。
测定帝星、句陈二星是确定夜晚时间的一种简便方法，他写了《星轨真度》一卷。
以上都是为了发明新法算书，或纠正其错误，或补充其不足。
康熙己未年，开始编纂《明史》，历志部分由钱塘人吴任臣负责修订，经过嘉禾人徐善、北平人刘献廷、毗陵人杨文言的增补和确定，最后由黄宗羲负责，又由文鼎负责，纠正了五十多处错误，用算草和通轨进行补充，编写了《明史历志》的草稿一卷。虽然是为了维护大统而编写，实际上是为了阐明授时之奥秘，补充《元史》的不足。
其总目分为三部分：法原、立成、推步。法原部分有七个项目：句股测望、弧天割圜、黄赤道差、黄赤道内外度、白道交周、日月五星平立定三差、里差刻漏。立成部分有四个项目：太阳盈缩、太阴迟疾、昼夜刻、五星盈缩。推步部分有六个项目：气朔、日躔、月离、中星、交食、五星。
又编写了《历志赘言》一卷，大意是说：“明朝使用大统历法，实际上是授时之用，应该详细记载《元史》中缺失的内容，以补充其不足。又回回历法已经使用三百年，应该详细记载。郑世子的历学也已经呈上，应该详细叙述。还有袁黄的历法新书，唐顺之、周学述的会通回历，按照庚午元历的例子，都应该附上。西洋历法现在还在使用，然而崇祯朝徐、李等人测验改宪的功绩，也不可忽视，也应该详细记载。
己巳年，到达京师，拜访李光地于其住所，对他说：‘历法在本朝已经非常完备了，但经生家还是像望洋兴叹一样，没有快论来激发他们的兴趣。应该略仿照元朝赵友钦的《革象新书》体例，编写一本简要的书，使每个人都能掌握入门的方法，那么从事这项工作的人就会增多，这样这门学问才能大显于世。’因此编写了《历学疑问》三卷。
李光地随驾南巡，驻跸德州，有旨意要取回所刻书籍回奏，李光地匆忙未及携带，于是将所编写的《历学疑问》呈上。奉旨：‘朕关注历算多年，此事朕能判断其是非，留下这本书来看后再发。’两天后，召见李光地，皇上说：‘你所呈的书非常细心，而且议论也很公平，这个人下了很大的功夫，朕带回宫中仔细阅读。’李光地因此请求皇上亲笔批示，进行修改，皇上同意了。
第二年癸未年春天，皇上再次南巡，在行在处发回原书，面谕李光地：‘朕已经仔细看过。’书中圈点涂抹及签贴批语，都是皇上亲笔。
不久，圣祖西巡，询问隐居之士，李光地向皇上推荐了关中李颙、河南张沐以及文鼎三人。皇上也早已知道李颙和文鼎，乙酉年二月，南巡时，李光地作为抚臣随从，皇上问：‘宣城处士梅文鼎在哪里？’李光地说：‘还在臣的官署。’皇上说：‘朕回去时，你带他一起来，朕要亲自见见。’四月十九日，李光地与文鼎在河岸边迎接，次日，都被召见于御舟中，从容询问，如此连续三天。皇上对李光地说：‘历象算法，朕最关心，这门学问现在很少有人懂得，像文鼎，真是难得一见。这个人也是雅士，可惜年纪大了！’连续几天赐予御书扇幅，颁赐珍馐。临别时，特别赐予‘绩学参微’四个大字。第二年，又命令他的孙子梅瑴成到内廷学习。
五十三年，梅瑴成奉上谕：‘你的祖父留心律历多年，可以将《律吕正义》寄一部去，让他看看，如果有错误，指出很好。古帝王有“都俞吁咈”四个字，后来就只剩下“都俞”，就是朋友之间，也不喜欢别人规劝，这些都是私心。你们必须竭力克服这些，这样学问才能进步。可以将这个意思写给你祖父知道。’这份恩宠是古代所没有的。
文鼎绘制了各直省及蒙古各地南北东西的差距，编成了一卷书，名为《分天度里》。因为地球是浑圆的，所以所说的每度二百五十里，纬度是这样的，如果经度离赤道远，里数就会逐渐缩小。因此，只有正东西方向的路，自有一套固定的算法；如果路是斜的，那么这种方法就不能用了，要制定新的法则。如果两地各有北极高度，又有相距的经度，但没有相距的里数，这就是有两边一角，求其余一边，就可以知道斜距的里数。如果先有斜距的里数，再求经度，这就是三边求角，也可以知道相距的经度。这个方法使用斜弧三角形进行计算，可以与月食求经度的方法相互参照，而且简单准确。
文鼎对于测算的图与器，一见就能抓住要领，古代的六合、三辰、四游之仪，他根据自己的理解简化了制作，都符合要求。他还自己制作了月道仪，用来揆日测高，都自出新意。他曾登上观象台，浏览了自己新制的六仪，以及元郭守敬的简仪、明初的浑球，指出其中的利弊，都像平时一样熟悉。他的书中还有《测器考》二卷，以及《自鸣钟说》一卷、《壶漏考》一卷、《日晷备考》一卷、《赤道提晷》一卷、《勿菴揆日器》一卷、《加时日轨高度表》一卷、《揆日测说》一卷、《璇玑尺解》一卷、《测量定时简法》一卷、《勿庵测望仪式》一卷、《勿庵仰观仪式》一卷、《月道仪式》一卷。
他的说法是：‘月道出入于黄道，就像黄道出入于赤道一样。从古至今，没有人为此制作过仪器。现在根据浑盖北密南疏的度数，以黄极为轴心，月道半在内部，半在外部，那么月纬大小之理，以及正交、中交、交前、交后的方法，都可以清楚地显示出来。仪器用铜制成，大致像浑盖，上面的盘为月道，也像浑盖天盘的黄道圈；下面的盘为黄道经纬，分宫分度，都以黄极为中心，边缘以黄纬九十五度少半为限。出黄道南五度少半，就是月道所在。’
礼部郎中李焕斗曾向文鼎请教历法，编写了《答李祠部问历》一卷。沧州老儒刘介锡与客人一起到天津，询问历法，编写了《答刘文学问天象》一卷。他还说，自己一生中对于难读之书，常常手抄并携带在箱子里，等待有识之士询问，在历学方面尤其多，编写了《思问编》一卷。通过纬度测量日高，因此知道北极的应用非常广泛，古时候使用二至二分，现在则可以每天测量，承蒙友人的询问，编写了《七十二候太阳纬度》一卷。潘天成跟随文鼎学习历法，但苦于计算，编写了《写历步历法》一卷传授给他。又传授了《时步交食式》一卷，这是文鼎季弟文鼏的稿件。编写了《步五星式》六卷，这是文鼎和他的二弟文鼐共同完成的。
文鼎每得到一本书，都会校正其中的错误和缺失，指出其中的优点和不足，还专门编写了一卷关于古代历法中星星距离的考订，从残破的书籍中寻找全天星星的位置，包括它们进入和离开星座的度数，中间缺少了两颗星，然后从闽中的林侗那里抄写本子来补充完整，并以此作为授时法。在万历年间，利玛窦来到中国，开始提倡几何学，以点、线、面、体作为测量的依据，制作仪器和绘图，非常精确。学者们对此过于热衷，没有时间深入研究，就轻视古代的方法，认为不值得一看；而那些坚持旧方法的人，又批评西方人为异端：两派的观点，因此形成了障碍。
文鼎收集了自己的书籍并为之作注解，使用算筹、尺子和笔，稍微改变了一些按照我的方法。至于三角、比例等，原本就不是中法可以完全涵盖的，所以特别提出来。古代的方程法，也不是西方法所拥有的，于是专门论述，以表明古人的精妙思想不可埋没。他还编写了《九数存古》，以记载其概要。总共编写了中西算学通例一卷。
其余分为九种：一，《勿庵筹算》七卷。二，《笔算》五卷。都将横写的改为直写的，以便于中文阅读。三，《度算》一卷，原本没有算例，他的弟弟文鼏补充了，并参考了嘉禾陈荩谟的尺算用法。还有矩算，使用一尺一方板的，是文鼎所创。四，《比例数解》四卷。解释了穆尼阁所翻译的对数。五，《三角法举要》五卷。内容包括：测量名词、算例、内容外切、或问、测量。六，《方程论》六卷，由安溪李鼎徵在泉州刻印。七，《几何摘要》三卷，根据原本删去繁复内容，补充遗漏。八，《句股测量》二卷，根据周髀、海岛等术，摘录要点以保存古意。九，《九九数存古》十卷，九数即九章算术，仅存的是九章的目录。后来的作者，没有人能超出这个范围。
外面有一十七种书籍作为续编：一，《少广拾遗》一卷。古时候有一张从一乘方到九乘方的相生图，但没有人详细说明它的用途。后来有人增加到十乘方，只有四乘方和十乘方不能借用其他方法，因此推导到十二乘方，条理清晰。二，《方田通法》一卷，算家有二十三种快捷田法，扩展到一百二十四种。三，《几何补编》四卷。几何原本六卷，只到测量面积，七卷以后，尚未翻译出来，取测量全义量体诸率，实际考察其作法根源，以补充原书的不足。而原书中的二十等面体之说，以前一直怀疑其有误，现在得到了实际数值。又原本理分中末线，只有求作的方法，而不知道它的用途。现在依法求得十二等面和二十等面的体积，因此得到了各种形状中棱线和对角线的比例。又两种形状互相容纳，以及两种形状与立方体、球体等形状相容的比例，都以理分中末线为法，才知这条线并非徒设。四，《西镜录订注》一卷。五，《权度通几》一卷。重学是西方的一种技术，在比例规解中记载很多错误，现在以南勋卿仪象志相互订正补充，其数值才真实。六，《奇器补注》二卷。关中王公征奇器图说中所述的引重转木等装置，对民生日用有所帮助，又基于西方的重学，以阐明其原理。曾经以书史所传，如汉杜诗作水《厂义》以便民，以及王氏农书中的各种水器等，所见所记，如刘继庄诗集载筒车灌田法，稍作辑录，以补充其遗漏，对图与说不相符的地方进行纠正，用西字标记以便识者理解。七，《正弦简法补》一卷。大测诸书中，关于制作八线表的方法讲得很详细，薛凤祚书中有用矢线求度法，为其制作图表，以阐明其意。因此得到两种方法，在六宗、三要之外，使用更加快捷。两种方法分别是：一是正弦方幂倍而退位得到倍弧的矢，一是正矢进位折半得到半弧正弦上方幂。八，《弧三角举要》五卷。历书都是三角法，分为两支：一是平三角，一是弧三角。所有历法所测量的都是弧度，弧线与直线不能成比例，于是剖析圆体，在弧线中找到相应的直线。在无句股的情况下寻找句股，这是最奇特而确切的法。弧三角的用法虽然很多，但最著名的是黄赤交变图。反复推论，清晰明了，掌握这一点，其余的就不难推算了。测量全义第七、第八、第九卷专门阐明这个道理，但举例不全面，且有很多错误。在历指中散见的，只有用数，无法得知其端倪。天学会通圈线三角法，作图草率，往往不符合方法。以正弧三角为纲，仍然使用浑仪进行解释。正弧三角的原理，完全归于句股。通过变化，斜弧三角的原理，也归于句股。其内容包括：弧三角体式、正弧句股、求余角法、弧角比例、垂线、次形、垂弧捷法、八线相当。九，《环中黍尺》五卷。举要中弧度的方法已经详细说明，但还有更简妙的方法应该知道。测量全义原有斜弧两矢较的例子，所立图表只是斜望的形状，没有实际度数可说。现在以平仪正形为主，凡是可以计算的，就可以用器量。浑仪真象，呈现在纸张上，经纬分明，没有丝毫隐伏假借。至于加减乘除的用法，历书中只提到名称，没有详细说明，怀疑了数十年，才得到其条理，即初数次数甲数乙数等方法。其内容包括：总论、先数后数、平仪论、三极通几、初数次数、加减法、甲数乙数、加减捷法、加减又法、加减通法。十，《巉堵测量》二卷。古法斜剖立方，成两巉堵形，巉堵再剖为二，成立三角形，立三角形是量体所必需的，但这个道理都没有发现。现在以浑仪黄赤道之割切二线成立三角形，立三角形本是实形，现在诸线相遇成虚形，与实形相等，四面都是句股，西方的方法与古法相通。又在余弧中取赤道及大距弧的割切线，成句股方锥形，四面也都是句股，即弧度可以求得，也不言角，古法与西方方法相通。两者都可以用纸张作为仪象，那么八线相为比例的道理，就一目了然。而郭守敬员容方直矢接句股的方法，无需多言就可以理解。其内容包括：总论、立三角摘要、浑圆内容立三角、句股锥、句股方锥、方巉堵容圆巉堵、圆容方直仪简法、郭太史本法、角即弧解。十一，《用句股解几何原本之根》一卷。几何不言句股，但其原理不能脱离。因此，最难理解的部分，用句股来解释就明白了。只有理分中末线似乎与句股不同源，现在从立法之初考虑，仍然不离句股，更加相信古句股义包罗万象。徐光启翻译大测表，命名为割圆句股八线表，其原理已经明了。十二，《几何增解数则》。其内容包括：以方斜较求斜方、切线角与圆内角交互相应、量无法四边形捷法、取平行线简法。并就几何各题进行增补，不纳入补编，附在前条之后。十三，《仰观覆矩》二卷。一查地平经度为日出入方位，一查赤道经度为日出入时刻，并依据里差，用弧三角立算，与历书法略有不同。十四，《方员幂积》二卷。历书周径率至二十位，但在计算时，仍然使用古率十一与十四的比例，难道不是因为在乘除时难以使用多位数吗？现在用表格列出，取数非常容易，于是制定了约法，则直径与周长的比例即方形、圆形的平方比例，也就是立方体、球体的比例，非常简单直接。十五，《丽泽珠玑》一卷。取其与算学有关的。十六，《算器考》一卷。十七，《数学星槎》一卷。
文鼎历学疑问，曾呈御览，后又引申其说，作历学疑问补二卷，皆平正通达，可为步算家准则。
文鼎学习非常勤奋，刘辉祖与他同住馆舍，告诉桐城方苞说：‘我每次睡觉醒来，漏鼓响四五下，梅君还在点灯夜读，这才知道我是在浪费时间。’在京城时，裕亲王以礼相待，邀请他到朱邸，称他为梅先生而不提名字。李文贞公命令儿子钟伦向他学习，介绍弟弟文鼎征和众亲戚都向他行弟子之礼。宿迁徐用锡，晋江陈万策，景州魏廷珍，河间王之锐，交河王兰生，都以能参与校对为荣。家中藏书丰富，多年来游历，手抄的杂书不下数万卷。辛丑年去世，享年八十九岁。皇上听说后，特别命令有地治者处理他的丧事，士人评价他非常荣耀。
子以燕，字正谋。康熙癸酉举人。在算学方面颇有领悟，有方法与加减相同，但取径特殊，能在恒星历指中提出问题，文鼎所说的‘能助余之思’。早逝。
瑴成，字玉汝，以燕子为名。文鼎怀疑日差既有两个根源，就应该列出两个表格，瑴成认为：‘定朔时已经有了高卑盈缩的加减，再用于这里，岂不是重复了吗？’文鼎因为他的说法，然后领悟到交食并非缺失，比童乌九岁能理解太玄。康熙乙未年进士，改编修，参与编纂国史。瑴成在蒙养斋学习，因此数学日益进步。御制《数理精蕴》、《历象考成》等书，都参与编纂。著有《增删算法统宗》十一卷，《赤水遗珍》一卷，《操缦卮言》一卷。
明代算家，不懂立天元术，瑴成说立天元一就是西法的借根方，他的说法是：‘曾经阅读授时历草求弦矢的方法，先立天元一为矢，而元学士李冶所著的测圜海镜，也用天元一进行计算。传抄过程中出现了鲁鱼，算式错乱，非常难以阅读。明代的唐荆川、顾箬溪两位先生互相推崇，自认为掌握了其中的精髓。荆川的说法是：‘艺士著书，常常以秘其机为奇，所谓天元一云尔，如积求之云尔，漫不省其为何语。’而箬溪则说：‘仔细研究测圜海镜，比如求城径，就以二百四十为天元，半径就以一百二十为天元，既然知道了数字，何必用算呢？似乎不必立可也。’两位先生的说法如此，我对顾的说法不太认同，但没有办法解释。后来在内廷供奉，被圣祖仁皇帝传授借根的方法，并告诉他：‘西人称这本书为阿尔热八达，翻译过来就是东来法。’我恭敬地接受并阅读，这个方法神奇，确实是算法的指南，但我怀疑天元一的方法与它颇为相似。再次阅读授时历草，发现确实是如此，几乎名字不同而实质相同，不仅仅是相似而已。元时学士著书，台官治历，都是这个方法。但历久失传，幸好远方的人仰慕文化，重新得到了这个方法。东来之名，他们还记着它的来源，而明代的人却把它当作累赘想要丢弃。唉！好学深思如唐、顾二公，尚且不能理解其意，而浅见寡闻的人，又有什么可说的呢？’
明史馆开馆时，瑴成参与编纂天文、历志，呈总裁书说：‘一历志半是先祖的草稿，但经过多次修改，已非原本，其中错误很多。凡有增删改正之处，都逐条标出。一，天文志不宜纳入历志，建议仍单独编撰。因为历法以钦若授时，置闰成岁，其术复杂繁重，其理精深，论述深远。且有明二百七十多年的沿革非一事，造历者非一家，都应纳入志中。尽管尽力删削，卷帙仍然繁重。如果加入天文志的内容，恐怕会杂乱无章，不符合史法。自司马氏将历法与天官分为两书以来，历代都沿袭此法，似乎不可改变。一，天文志通常记载天体、星座、次舍、仪器、分野等事，辽史说天象千古不变，历代记载天文的人近乎空谈，其说法似是而非。因为天象虽然没有古今之别，但古今谈论天的人，则有疏密之别。何况恒星距离极点，交宫中的星，晨昏隐现，每年都有变化，怎能说千古不变？现在打算选取天文家的精妙说法著于篇中；不足信的内容，打算删去。’
又时宪志用图论说：‘有人问梅子说；‘史书以纪事为主，因此不创新。听说你编纂的时宪志使用图，这在二十一史中是没有的，你创新了，应该认为这是非体而想要去除它。但你坚持己见，反复上言，难道不记得韩愈的自责吗？我私下为你感到担忧！’梅子说：‘我听说史学的道路贵在真实而直接，我本来不想做史官，总裁说时宪、天文两志非专家不能完成，不认为我浅陋而委托给我。我既然无法推辞，不得不尽自己的职责。现在客人说旧史没有图而怀疑我创新，我私下认为史书的记载，也看其是否真实，因、创不是关键。后史增加于前史，必然有原因，比如明史使用图，也有说法吗？’客人说：‘后史增加于前史，必然有原因，如果明史使用图，也有说法吗？’梅子说：‘疑以传疑，信以传信，这是春秋的方法，作史的人谁能改变它？古代治历的人有数十家，大多只是增损日法，增加天周，减少岁余，以求合一时而已。即使是太初的起数锺律，大衍的造端蓍策，也都是牵强附会，并没有深入探究天行的原因，而阐明其所以然之理。本来就没有图，史官从何而来？到元郭太史修授时，不使用积年日法，完全依靠实测，用句股割圆以求弦矢，于是有割圆诸图载于历草。编纂元史时，不知道采撷，则是宋、王等人的疏。明的大统，实际上就是授时。本朝编纂明史的人，认为没有图就无法理解，于是将历草纳入志中，其见识极为超群。又经过圣君贤相的鉴定，不认为这是非体而去掉它，使精义流传于后世，确实足以开拓万古作史者之心胸。至于时宪立法的妙处，义蕴的深奥，都在图中，更不能去掉。如果一定要去掉图以符合体例，难道认为明史是非体例，而本朝的制度不值得效法吗？而且客人也知道时宪的图是从哪里来的吗？我圣祖仁皇帝怜悯绝学失传，关注探索四十多年，看到本质，才开始亲自教授儒臣，作图立说，以阐明千古不传之秘，即御制历象考成。我亲自接受圣训，实际上与汇编之列。前辈编纂明史的人，尚且不忍心埋没古人的优点，创例以传承之。而我作为承学之臣，恭敬地记录御制，担心失去你的意思，而迁就迎合，以至于圣学不显，贻误后学，还能称之为信史吗？不信之史，人可以推脱责任，而我何必越俎代庖呢？我的反复，非是故意直率，是不得已而为之。那么韩愈的自责，也是说他的话可以停止了。如果韩愈果真是为了取悦以求免罪，那么诤臣的言论，佛骨的表章，又怎么会如此直言不讳呢？’客人唯唯诺诺地退去。
又有一篇关于仪象的论述说：‘齐国的政治是按照时令来授命的，仪象和算术同样重要。如果没有算术，就无法预测节令之前的民用需求；如果没有仪象，就无法测量现在的天体运行，以检验推算的准确与否，以及进行修改的依据。虞书中的‘璇玑玉衡’是仪象的起源，其制作方法没有流传下来。汉人创造了浑天仪，即继承了玑衡的遗制，唐宋时期都仿制了它。到了元朝，出现了简仪、仰仪、窥几、景符等仪器，比古代的仪器更加详尽。明朝在齐化门南边靠城墙建造了观象台，仿照元朝制作了浑仪、简仪、天体三仪，放置在台上，台下面有晷影堂、圭表壶漏，国初沿用这些。康熙八年，皇帝下令制造新的仪器，十一年，仪器完成，放置在台上，旧的仪器被移到其他房间。五十四年，西方人纪理安想要炫耀自己的能力而废弃古法，再次上奏制造象限仪，于是将遗留的旧仪器作为废铜处理，仅存明朝仿制的浑仪、简仪、天体三仪。所制造的象限仪也放置在台上。根据明史记载：‘嘉靖年间修复相风杆及简、浑二仪，设立四大表来测量晷影，并且设立运仪、正方案、悬晷、偏晷，在观象台上齐全，一切以元朝的方法为准。’我在康熙五十二三年间，担任蒙养斋汇编官，多次前往观象台进行测验。看到台下面遗留的旧仪器很多，而元朝制作的简仪、仰仪等仪器，上面都有王珣、郭守敬监造的姓名。虽然它们有所残缺，但看到这些遗制，不禁想到创造者的辛勤努力，不禁肃然起敬。乾隆年间，监臣受到西方人的欺骗，多次想要废弃台下的其他仪器作为铜材送至制造局，幸赖朝廷大臣上奏请求保留，礼部奉旨查检，才知道仅存三仪，大概是纪理安留下的残余。西方人想要利用技术来传播他们的教义，因此想要完全消灭古法，使后世无法考究，他们心中的想法难以揣测。然而，监臣无知，不思考保留千分之一，反而帮助西方人作恶，这是为什么呢？乾隆九年冬天，有旨意将三仪移至紫微殿前，古人的法物，或许可以永远保存了。
又有一篇关于句股的论述说：‘句股和较相求，算学者无人不留心，这种方法可以说是详尽且完备的，但没有用句股积与句弦和较为问题的。元朝学士李冶著《测圜海镜》，使用多余的句和股来立算，变化神奇，几乎如同五花八门，也没有达到这个水平。难道他们都未曾考虑到吗？或者是有方法却遗失了吗？在《统宗少广章》中，虽然有句股积和句弦较两个题目，但只是偶然与句三股四的数相合，不是通用的方法。以前我在蒙养斋待罪，汇编数理精蕴，想要制定法律来弥补其不足。先用平方辗转推求，都不能解决，思考了多日，最后得到使用带纵立方求句股二法。’
文鼏去世时，享年八十三岁，谥号文穆。
钫，字导和，是瑴成的第四个儿子。瑴成编纂的丛书辑要六十多卷，插图都是他绘制的。删订《统宗图》，十之七八都是他亲手完成的。他二十六岁时去世。
文鼐，字和仲，是文鼎的堂弟。他刚开始学习历法时，没有五星通轨，无法进行计算。他和哥哥文鼎取用《元史》中的《历经》，用三差法布五星盈缩立成，然后进行计算，共同完成了六卷的《步五星式》。他早逝。
文鼏，字尔素，是文鼎的季弟。他著有《中西经星同异考》一卷。按照三垣二十八宿的星名，依照《步天歌》的顺序，列举了它们的名称，并且按照中西方星名的多寡分注在下面，将古歌和西歌附在后面。古歌就是《步天歌》，西歌则是利玛窦所著的《经天该》。他对于南极的星星，则根据汤若望的算书和南怀仁的《仪象志》进行考证补充，附在最后。他在序言中简要地说：‘齐七政，如果不先确定恒星，就无法着手。所以说“七政如乘传，恒星其地志也；七政如行棋，恒星其楸局也。”说的“恒”字，是指它们自古以来就不会改变；说的“经”字，是指它们不同于纬星南北行，‘经’也有‘恒’的意思。这部著作专门以中西方两家所传的星歌星名，考其多寡同异，所以叫作《经星同异考》。星官之书，自黄帝开始，重黎、羲和，记载天文的人，纷繁杂乱。汉代的张衡说：“中外之官常明者百有二十四，可名者三百二十，为星二千五百，微星之数盖万一千五百二十。”到三国时期，太史令陈卓开始列出甘、石、巫咸三家所著的星，总共有二百八十三官，一千四百八十四星。从唐代以来，用仪器进行观测，到宋两朝的志书，才开始能够说出某星距离北极多少度，进入某星多少度，说法比较详细。这是中国研究星学的说法。西方的星学历史悠久，根据其书所译，周赧王丙寅古地末一测，汉永和戊寅多禄某一测，明嘉靖乙酉尼谷老一测，万历乙酉第谷一测，崇祯戊辰汤若望一测。本朝康熙壬子，南怀仁著《仪象志》，又根据岁差改定黄经及赤经。现在根据南公的志表，稽考其大小，分为六等。一等大星十六颗，二等星六十八颗，三等星二百零八颗，四等星五百一十二颗，五等星三百四十二颗，六等星七百三十二颗，总计一千八百七十八颗。微茫小星，则无法用数目来计算。这是西方的学问。
文鼏还有多年的算学稿件，文鼎为他整理保存，名为《授时步交食式》一卷。还有几何类求新法，算书中的比例规解，原本没有算例，文鼎制作度算时，用文鼏所补充的内容，并参考了陈荩谟的尺算用法。
明安图，字静庵，是蒙古正白旗人。他在官职上担任钦天监监正。他在数学上得到了圣祖的指导，参与修订了《御定历象考成后编》和《御定仪象考成》。因为西方人杜德美使用连比例来计算圆的周长和直径的密率，以及求正弦和正矢的方法，他发现这些原理非常深奥，不易理解，因此他思考了三十多年，著写了《割圜密率捷法》四卷。
第一卷是步法，除了杜德美的三种方法外，他还补充创造了弧背求通弦、求矢的方法，仍然使用杜德美的原法，只是通加一四除而已。弦和矢求弧背，以及通弦和矢求弧背，共有六种方法，加上杜德氏的方法，共成九种方法。弦求弧背的方法，以弦为连比例的二率，半径为一率，求得二、四、六、八、十等率，以一、三、五、七、九的五个数各自乘，为累次乘数。
二、三、四、五、六、七、八、九相挨，两两相乘，为累次除数，即用二率为第一得数。然后置四率，以第一乘数乘之，第一除数除之，为第二得数。再置六率，以第一、第二乘数乘之，第一、第二除数除之，为第三得数。再置八率，以第一、第二、第三乘数乘之，第一、第二、第三除数除之，为第四得数。如此累求，直到所得数只有一位为止，然后相加，就是所求的弧背。
矢求弧背的方法，将正矢加倍为连比例的三率，也以半径为一率，求得五、七、九、十一等率。以一、二、三、四、五的五个数各自乘，为累次乘数，三、四、五、六、七、八、九、十相挨，两两相乘，为累次除数，即用三率为第一得数。然后置五率，以第一乘数乘之，第一除数除之，为第二得数。再置七率，以第一、第二乘数乘之，第一、第二除数除之，为第三得数。再置九率，以第一、第二、第三乘数乘之，第一、第二、第三除数除之，为第四得数。如此累求，直到所得数只有一位为止。
通弦求弧背，也各加一四除。矢求弧背，则三率又多加一四。他还创造了余弧求弦矢，余弦矢求本弧，以及借弧与正、余弦互求的四种方法。
第二卷是用法，用角度求八线，以及直线、弧线、三角形边角相求，共设七题。他认为现在的方法比古代更精确，是因为使用了三角形。然而，没有使用八线表就不能求出三角形，只有使用这种方法，建立表格非常容易，推算三角形时，不用表格也能得到相同的结果。
第三、第四两卷是法解，都阐明了弦、矢与弧背相求的原理。方法首先用一分弧通弦求二分弧通弧弦的数，然后用一分、二分弧通弦求三分、四分全弧通弦的数，用一分三分弧通弦求五分全弧通弦的数。
又因为二分、五分相乘得十分，十分自乘得百分，十分、百分相乘得千分，十分、千分相乘得万分。于是以半径为一率，一分弧通弦为二率，各如相乘之率数，求得十、百、千、万等分弧率数。比例得到弧背求通弦，应减四率二十四分之一，加六率八十分之一，减八率一百六十八分之一，加十率二百八十八分之一，减十二率四百四十分之一，加十四率六百二十四分之一，减十六率八百四十分之一。
各四归之，则二十四得六，为二三相乘数；八十得二十，为四五相乘数；一百六十八得四十二，为六七相乘数；二百八十八得七十二，为八九相乘数；四百四十得一百一十，为十与十一相乘数；六百二十四得一百五十六，为十二与十三相乘数；八百四十得二百一十，为十四与十五相乘数。
因此以二、三、四、五、六、七、八、九等数两两相乘，为累次除数。又以通弦求得二率一分多，四率一分，六率九分，八率二百二十五分，十率一万一千二十五分，十二率八十九万三千二十五分，十四率一亿八百五万六千二十五分，得后率分数为实。各递降二等，使二率降为四率，四率降为六率，得前率分数为法。以法除实，得四率一分，为一自乘数；六率九分，为三自乘数；八率二十五分，为五自乘数；十率四十九分，为七自乘数；十二率八十一分，为九自乘数；十四率一百二十一分，为十一自乘数；十六率一百六十九分，为十三自乘数：故以一、三、五、七、九等数各自乘为累次乘数。
接下来求通弦法，求得十、百、千、万等分弧正矢率数，比例得到弧背求正矢，应减五率十二分之一，加七率三十分之一，减九率五十六分之一，加十一率九十分之一，减十三率一百三十二分之一，加十五率一百八十二分之一，减十七率二百四十分之一；而十二为三四相乘数，三十为五六相乘数，五十六为七八相乘数，九十为九与十相乘数，一百三十二为十一与十二相乘数，一百八十二为十三与十四相乘数，二百四十为十五与十六相乘数，故以三、四、五、六、七、八、九等数两两相乘，为累次除数。
又以正矢求得五率一分多，七率四分，九率三十六分，十一率五百七十六分，十三率一万四千四百分，十五率五十一万八千四百分，十七率二千五百四十万一千六百分，为后率分数，各递降二等为前率分数。如前通弦法，除得五率一分为一自乘数，七率四分为二自乘数，九率九分为三自乘数，十一率十六分为四自乘数，十三率二十五分为五自乘数，十五率三十六分为六自乘数，十七率四十九为七自乘数，故以一、二、三、四、五等数各自乘，为累次乘数。
书未完成他就去世了，他的儿子新继续完成了这部著作。
新，字景臻，是明安图的次子。他是食俸生。明安图病重临终前，将所著的捷法传授给了他，新遵从父亲的遗命，与门下士陈际新、张肱共同完成了这部著作。
陈际新，字舜五，是宛平的诸生。他在官职上担任灵台郎，担任监正。他继续明安图的《割圜密率捷法》，继续深入研究，用之前传授的知识来验证。到了乾隆甲午年，才最终完成这部书。
刘湘煃，字允恭，是江夏人。听说梅文鼎因为历算方面的成就而闻名于世，刘湘煃卖掉家产，跋涉千里，拜梅文鼎为师，深入思考，多有创新和收获。梅文鼎非常高兴，说：‘刘生好学上进，启发了我很多未曾触及的地方！’他在给别人的信中说：‘金、水两星，按照历法所说还未透彻，得到刘生的解释后，两星有岁轮的道理确实不可更改。’因此，梅文鼎把他的历学疑问托付给刘湘煃讨论，刘湘煃为他撰写了订补三卷。梅文鼎又说，历法从汉、唐以来，对五星的观测最为疏漏，所以五星的迟、留、伏、逆都纳入了占卜之中，直到元朝郭守敬出现，五星才开始有推算经度的方法，但纬度仍然不完整。西方历法原本也没有纬度，直到地谷时期才有五星纬度，这已经在郭守敬之后了。历书中有法原和法数，都是历法的根本。法原是指七政和交食的历法指针；法数是指七政和交食经纬的表格，所以历法指针实际上是制作表格的根本。现在历书中所载的金、水星，按照历法指针的方法制作表格，与所推算的表格不符，如果按照表格来推算测天，则又非常吻合，这说明历法虽然有表格和数字，但仍然不知道立表的根源。”于是刘湘煃写了《五星法象》五卷，梅文鼎非常赞同他的观点，摘录其要点为《五星纪要》。
刘湘煃还想要为浑盖通宪天盘安星之用，根据戊辰历元加上岁差，使用弧三角法，制作了恒星经纬表根一卷，以及月离交均表根、黄白距度表根各一卷，这些都是新法中未曾涉及的。他还著有关于日、月食计算的稿件各一卷，各省北极出地图说一卷，回答全椒吴荀淑关于历算的十个问题的书一卷。
王元启，字宋贤，号惺斋，是嘉兴人。乾隆辛未年考中进士，被任命为将乐县知县。他深入研究律历句股之学，已经刻印的著作是《惺斋杂著》。其中包含《史记》、《汉书》正误两种，纠正《史记》中的错误，写了律书、历书、天官书各一卷；纠正《汉书》中的错误，写了律历志上下两卷。未刻印的有《历法记疑》、《句股衍》、《角度衍》、《九章杂论》。其中《句股衍》一书，因为内容繁杂而追求简洁，最为清晰。分为甲、乙、丙三集，甲集术原三卷，乙集纲要二卷，丙集晰义四卷。甲集首卷通论术原，为句股因积求边张本。二卷专论立方，涉及到平方法。三卷专论和数开立方，所以能够穷尽立方诸数的变体。乙集两卷，为相求法百二十三则之纲要。丙集四卷，即相求法，逐则分晰其义，专取发明立法之意。
其总序说：‘句股弦相求法，参以和较，共得七十八则，求句股中函数。又有幂积求容圆、容方、容纵方，以及依弦作底求容方，与句股求外方、外圆之数。又有积数与句股和较相求容方，与句股余数相求之法。总计起来，共得二十九则。立表测量，得求高、求远、求深三则，重表也是如此。旧算书多简略，详细者又苦于错出无序。我曾努力区分，使各类问题各有归属，先定相求法一百十三则。甲申仲秋，再次整理前绪，逐一计算，比旧法快捷，而旧法仍附见，以供参考。至于以中函积与弦的和、较相求而得句、股、弦之正数，旧法罕见，现在也私下拟了一个方法，附在后面。又别创截弦分两，及补句求股、补股求句之法，分为六则，即使不是句股的形状，也可以化为句股。并载不成句股求中函积二则，容方、容圆四则，外切圆径一则，圆内累求句股六则，总共又一十九则。以包含西术三角之算，兼备割圆之用。使学者知道周髀一经，在术数上无所不包。后人不能触类旁通，以尽其变，所以使得西术得出而争胜，其实西术也出自周髀，不能超出折句为股之外。’
又略例引言说：‘算家句股一门，为术最繁，非专一数以为布算之准，难以领会其义。然而如广三修四见於经者，特其正例，正例外变例尤多。必欲正变兼呈，则一卷中彼此错出，使阅者耳目数易，转增烦扰。今特标举略例，即使不成句股之形也附见，以尽句股之变，而包含三角之法。’
又答友问句股书说：‘想要求句股，先学开方，方有正方、纵方之异。纵方则以修广之和、较数开之，其次则求四率比例，有三率求四率之法，有二率求三率之法，又有一率求三率之法。知道这些就可以知道求句、股、弦各无零数的方法。以三率之中率为主，倍中率为股，首末二率相减为句，相加为弦。依此衍之，得句股略例十数则，然后以句、股、弦为正数，两数相加为和，相减为较。又有句股三数相加减之和较数，弦与和，和弦与较和三数相加之和数也；弦与较，较弦与和较三数相减之较数也。三数相加减，今名之为兼三和较。凡正数和较之数各三，兼三和较各二，共十三数。十三数中，任意举两数，即可求句股弦全数。总共得相求法九十四则，而容方、容圆、截股分两、立表测量单表、重表之法，还不包括在内。其次则求截弦分两之法，是为一句股分两句股，即可以知道不成句股也可以分两句股。不成句股分两句股，即西法三角算之所由名，现在则总以句股概之。其法取大小两句股形，小股与大句同数者合为一形，即为不成句股之形。分之为两，则所谓中垂线者，即小矩之股，大矩之句。以此衍之，又得不成句股略例二十馀则。依类推之，又得合形分两、削形求全二法。合形分两，则有正合形截偶分两、反合形截中分两、偏合形截边分两之法。削形求全，则有削去正矩、偏矩之殊，偏矩中又有浅削、深削之分。知道这些，句股之学就全了。’王元启曾说过：‘我并无其他长处，只是好学深思，心知其意而已。’然而他的句股术一书，几乎要超过梅文鼎，成为算术中不可或缺的书籍。
朱鸿，字云陆，是秀水人。嘉庆七年考中进士，后来被任命为翰林院庶吉士，后来又在散馆授编修。后来被提拔为御史，历任给事中，后来被派往湖南担任粮储道。他对算学有深入研究。与他同郡的钱仪吉编写了《三国会要》，汇集了乾象、景初两种术数，并曾为它作注。乌程的陈杰当时是台官博士，阳湖的董祐诚也是京城里的客人，他们都每天来听朱鸿讲解数学，各自提出自己的见解相互质疑。以前没有计算椭圆周长的方法，朱鸿对董祐诚说，如果将圆柱斜着切开，就变成了椭圆，可以用勾股形的公式来计算。董祐诚发明了这个方法后，还附上了图解。最初得到了杜德美写的《割圆九术》的副本，给董祐诚看，并创造了三卷图解。完成后，又在李潢家得到了密率捷法，这是蒙古监正明安图师弟续编的书籍，与传抄本有所不同。朱鸿曾经按照杜德美的方法进行计算，直径为1的圆，周长为3.141592653589793238462643；直径为10的圆，周长为31.8309861818379067153776754669。徐有玉将这些内容收录在《务民义斋算学》中。道光十年后，辞去官职仍居住在京城，编写了《考工记车制参解》。又评价了程氏的《易畴考工创物小记》，对其中的错误进行了纠正。
博启，字绘亭，是满洲正白旗人。乾隆年间，担任钦天监监副。曾经因为句股和较之术，前人已经论述得非常详细，唯独句股形中所包含的方边、圆径、垂线这三件事，还缺少而没有完备。于是将这三件事分配到和较中，创造了六十种方法。可惜他的书没有出版，方法没有流传下来。现在流传下来的只有方边和垂线求句、股、弦的问题。方法是使用平行线将容纳方幂剖分为四个小句股形，借用垂线作为小句股和，借用方边作为小弦，求小句和小股。以小股与垂线相比，就像方边与句相比；以小句与垂线相比，就像方边与弦相比。道光初年，方履亨担任监正，经常用这个问题来考学生。后来得到甘泉罗士琳的大力推荐，博启的术数才又为世人所知。
罗士琳在论述中说：“以前听说方慎菴监正说绘亭监副有这个方法，但是失传了。于是模仿监副的遗法，使用平行线将半圆幂剖分为四个小句股形，用半圆直径减去垂线剩余部分，作为小句股和，用半圆作为小弦，求得小句、小股。以小股与垂线相比，就像半圆直径与股相比；以小股与股相比，就像半圆直径与弦相比。又用半圆直径减去方边，得到较。用平行线将较幂剖分为四个小句股形，用半圆直径作为小句股和，用较作为小弦，求得小句、小股。以小股与半圆直径相比，就像方边与句相比；以小句与半圆直径相比，就像方边与股相比，以小股与股相比，就像较与弦相比。这是补充副监的遗法。又用天元术演算得到三事和较六十题，再立天、地两元为广例二十五术，撰写了《句股容三事拾遗》四卷。又尝试变通这个方法，用八线来处理，取方边用方斜率，得到容纳方中的斜线。以垂线为一率，半径为二率，斜线为三率，求得四率为正割。查八线表得到度数，与四十五度相加减，得到垂线所分的大、小两弧，用半径为一率，垂线为二率，小弧正割为三率，求得四率为句。如果用大弧正割为三率，求得四率为股，又如用大小两弧的正切为三率，求得四率，为大小两弧的两分弦，相加得到弦余。两个问题都是这样，得到的数相同，但是尾数有零头。因为八线表所列的数只到单位为止，单位以下，舍弃其余分，所以不能像句股与天元所得的那样精密。或者有人胡说天元术不能处理三角和较，但是他们不知道天元术是在宋、明之间创立的，怎么能预先知道西法中有三角，并预先制定法律呢？关键在于学者要善于融会贯通。尝试设定一个平三角形，有一个角在两边中间，有大边与对边和，有小边与对边和，求三边及垂线，这是西方人常用的方法无法处理的。如果使用天元术，那么可以任意求出任何一边或和数或较数，都只需要一个平方就能得到。那么天元术与西法，其优劣显而易见。
许如兰，字芳谷，是全椒人。乾隆三十年考中举人，被选为知县，被派往福建。因为父母年纪大，改任江西，历任浮梁、新建等县的事务。服丧期满后，前往福建，被任命为侯官，但还没上任，就因为瘴气发作，病逝。
许如兰性格聪明，所读的书籍都深入研究其精妙之处，开始学习历算时，通晓了薛凤祚所译的《天步真原》和《天学会通》。当时同县的山西宁武同知吴烺在刘湘煃那里学习梅文鼎的历算，许如兰也因此学习了梅氏的历算。又在乾隆四十年夏天，在京都拜访了戴震，学习了《句股割圜记》。四十四年，在常州拜访了董化星。戴震传授了《缉古算经》十书，而董化星则是专门研究薛氏的。因此，许如兰兼通中、西之学。
许如兰曾经对他的弟子胡早春说：“古人把句股方程列在小学里，孩子们从小就学习，人人都能理解，现在即使是老学者也不能理解其意义。一方面是因为时尚追求帖括，认为句股不是紧急的任务；另一方面是因为学习风雅，不屑于算筹计算，效仿那些算术家的子弟。唉，真是错误啊！”又说：“士大夫如果不精通弧矢之术，即使懂得天文，也没有什么好处。算术家如果不明白象数之理，即使能够计算，也没有什么好处。”著有《乾象拾遗》、《春晖楼集》等书，现在大多已经散失。
那些留存下来的内容，有书梅氏月建非专言斗柄论后，简略地说：‘天气浑浊不清，无法辨认，古人没有办法，就用恒星作为天空的标志来识别日月的位置。恒星积累时间久了就会产生误差，到了冬至时，日月的位置不再是在原宿，这才开始有了岁差的方法。古人认为恒星是不动的，但黄道是向西移动的。现在测量整个天空的星座都在移动，它们的经纬度并不随着赤道转动，而是顺着黄道向东移动。所以可以说黄道是不动的，而恒星是在向东移动，这与七政（即日月金木水火土七种天体）的运动规律是一样的。’又说：‘古人以中间的时间作为一年，以朔望月的时间作为一年。上古时期节气和朔望在同一天，所以月建是从节气开始的，而不是从中气开始的；日月的位置变化是从中气开始的，而不是从节气开始的。因为是从节气开始的，所以说是冬至是子之半；因为是从中气开始的，所以说是冬至日躔星纪之次。那么一年有十二个建，这是天道经历十二辰，所以叫做月建，这是万古不变的。斗柄所指的位置并不准确，而且恒星是在向东移动的，时间久了会有误差，这是确实的。但古人说：“斗为帝车，斟酌元气而布之四方。”又说：“招摇柬指。”这只是说天道没有痕迹。可见顺应时令的变化，斗柄有象征性的标志。如果拘泥于这些词句，就会迷惑不解。’关于岁差的说法简略地说：‘恒星一年向东移动五十多秒，又因为黄道和赤道是斜交的，不是平行的，在左旋速度最快的时候，轻微地被牵引向右。太阳在天空中，就像经纬线在太阳上一样。太阳运行到黄道的分至节气时，春秋的寒暑都会随之变化。七政（日月金木水火土）在各个宫位，遇到各个宫位的燥湿寒温风雨，就会随着恒星的本性而变化。那么，冬至和夏至，就是黄道上子午的位置；春分和秋分，就是黄道上卯酉的位置。只有唐虞时期，冬至日躔在虚中，恒星的中点正逢黄道的中点。从那时起逐渐产生误差，到了东周时期在女宿，汉朝在斗宿，现在在箕宿。黄道的中点，不是恒星的中点。以丑宫初度为冬至的，是因为周朝时冬至恒星已经移动到丑宿，周人就把恒星的位置作为黄道的十二次，所以把丑宿叫做星纪，意思是说其他星星都是以这个为标准。实际上，丑宿是周朝时恒星的位置，并不是恒星的中点。现在它已经不在丑宿，又移动到了寅宿十多度。从现在的箕宿向上追溯到古时的虚宿，经过四千多年的时间，已经移动了五十八度，这是恒星向东移动的明显证据。’其他与历算无关的论述不予记录。
泰始明昌国文-古籍-清史稿-列传-卷二百九十三-注解
畴人：畴人是指古代的数学家。
推步之学：指天文历算之学。
泰西新法：指西方传入的新的天文历法知识。
圣祖：圣祖是清朝康熙帝的尊号，明安图受数学于圣祖，意味着他接受了康熙帝的数学指导。
承学之士：指继承学问的学者。
推步之学，由疏渐密：指天文历算之学从粗略到精密的发展过程。
嘉庆初：指清朝嘉庆初年。
阮元：清朝的学者，曾任官至体仁阁大学士。
畴人传：指阮元所撰写的关于古代天文历算学者的传记。
推步诸书：指薛凤祚所著的天文历算书籍。
对数比例：指西方数学中的对数与比例关系。
中法四线：指中国传统数学中的四条线，即正弦、余弦、正切、余切。
假数求真数：指通过假设的数值来求出真实数值的方法。
黄、赤道交度：指地球黄道与赤道的交点。
恒星岁行：指恒星在一年内移动的角度。
天步真原法：指古代的天文计算方法。
奈端：指英国科学家牛顿。
穆尼阁：指明代数学家穆尼阁，翻译了《几何原本》。
几何论约：指杜知耕所著的几何学著作。
几何原本：指古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，是几何学的经典著作。
利玛窦：指意大利耶稣会传教士，明末来华传教，对中国数学、天文学有较大影响。
徐光启：指明朝的学者，曾翻译《几何原本》。
数学钥：指杜知耕所著的数学著作。
蔡氏律吕新书：指蔡元培所著的律吕学著作。
黄锺圜径：指古代乐律学中的黄钟音律的圆周率。
开方密率：指古代数学中的开方率。
元太史郭守敬：指元朝的天文学家郭守敬。
授时术：授时术，指古代授时方法。
弧容直阔：指古代天文学中的弧度与直角的关系。
七政：指日月五星，即太阳、月亮和金、木、水、火、土五星。
气朔：气朔，指历法中的节气和朔望。
交食：指日食和月食。
改应法：指康熙皇帝时期修改的历法。
武英殿：指清朝的宫殿之一，用于举行科举考试和颁布诏书等。
象纬考：指杜知耕所著的关于天文观测的著作。
历言大略：指杜知耕所著的关于历法的概要著作。
王锡阐：王锡阐（1628-1682），明末清初的天文学家、数学家，吴江（今属江苏）人。他通晓中西学问，创立了新的天文算法。
晓菴：王锡阐的字，意为清晨的静谧之处，寓意他追求学问的宁静与深思。
吴江人：指王锡阐是江苏吴江人。
中、西之学：指中国传统的学问和西方的学问。
自立新法：指王锡阐自己创立了一套新的天文计算方法。
测日、月食不爽秒忽：指王锡阐计算日食和月食的精确度非常高，误差极小。
天晴霁：指天空晴朗，天气晴朗。
鸱吻：古代建筑屋顶的装饰，形状像鸟嘴。
星象：指天上的星宿分布情况。
炎帝八节：指炎帝时期确立的八个节气。
历之始也：指历法的开始。
历：指历法，即用来计算时间的方法。
历数：指历法中的数字和计算方法。
章蔀气朔：指历法中的月份、节气等。
太初、三统：指古代的两种历法。
刘洪、姜岌：古代的天文学家。
何、祖：古代的天文学家。
表、圭：古代天文观测用的仪器。
唐历大衍：唐代的一种历法。
开元甲子：唐玄宗开元年间的一个年份。
郭守敬：元代著名的天文学家、数学家、水利专家。
元统造大统历：元代制定的大统历。
积年日法：根据多年观测结果计算日食的方法。
辛巳：干支纪年中的一个年份。
日躔：指太阳在黄道上的位置，即太阳在天空中的运行轨迹。
平行：指太阳在黄道上的运动速度保持不变。
周天：指天球一周，即360度。
度分：古代天文测量用的单位。
日行：指太阳在天空中的运动。
朓朒：指日月星辰的视运动。
定气：指精确的节气，是古代历法中计算节气的一种方法。
平气：指平均的节气，是古代历法中计算节气的一种方法。
月无中气者即为闰：指没有中气的月份为闰月。
岁实消长：指一年的长度随时间的变化。
黄、白异距：指太阳和月亮在黄道上的距离不同。
黄、赤异距：指太阳和地球在黄道和赤道上的距离不同。
月食定望：指月食发生在满月时。
朔、望：指农历的月初和月中，即新月和满月。
象纬：指天体的形象和经纬度，古代天文观测中用来描述天体位置的术语。
得失：指书籍内容的好坏和不足。
五星经度：指五大行星在天球上的位置，经度是描述天体在天空中的横向位置。
躔离：指天体在天球上的位置变化，躔指行星在黄道上的运行，离指行星与地球之间的距离。
凌犯：指行星进入或接近太阳、月球等天体的轨道，造成天文现象。
大统：大统是指明朝的历法。
西历：指西方的历法，如公历等。
参：指参考、参照。
列宿：指星座，古代天文观测中用来划分天区的术语。
经纬：指地球表面或天球上的坐标系统，经线指示南北方向，纬线指示东西方向。
黄道岁差：指地球绕太阳公转轨道的倾斜角度随时间的变化。
圜解：指对圆的性质和计算方法的解释。
仪晷：指古代天文观测中用来测量时间的仪器。
三晷：指三种不同类型的晷，用于测量时间。
三辰晷志：指对三种晷的记载和说明。
术数：指天文历法计算的方法和技巧。
闰月：指为了调整历法与天文实际不符而设置的额外月份。
气盈、朔虚：指古代历法中描述节气和朔望月相对位置的术语。
气虚、朔盈：指古代历法中描述节气和朔望月相对位置的另一种说法。
中气：指二十四节气中的两个节气，即春分和秋分，它们标志着昼夜平分。
岁功：指一年的农事成果。
宫度：指天体的位置，宫指天球上的一个区域，度指天球上的一个角度。
气序：指一年中各节气的时间顺序。
平气法：指古代历法中计算节气的一种方法，以平均的日数来计算。
定气法：指古代历法中计算节气的一种方法，以精确的日数来计算。
日行盈缩：指太阳在黄道上的运动速度变化，盈指速度变快，缩指速度变慢。
节气短长：指节气时间的长短。
晦朔：指阴历中的月末和月初，晦指月末的最后一天，朔指月初的第一天。
仲冬：指冬季的第二个月，即农历十一月。
大寒：指冬季的最后一个节气。
秒：指古代时间单位，一秒相当于现代的1/60分。
方中通：方中通，字位伯，是桐城（今属安徽省）人，清代数学家。他在数学领域有较深的造诣，尤其擅长历算。
集诸家之说：汇集各家学说，指方中通在数学、历法等领域吸收了前人的研究成果。
著数度衍二十四卷，附录一卷：编写了《数度衍》二十四卷和附录一卷，这是一部数学著作。
句股：句股是指勾股定理中的直角三角形的两条直角边，其中一条称为勾，另一条称为股。
环矩以为圆，合矩以为方：用圆规画圆，用矩尺画方，古代数学中常用的绘图工具。
度量衡：古代的长度、容量和重量单位。
黄锺：古代的一种标准音律器，用于校准音律。
少广：古代数学中的一种算法，用于计算方圆。
方田、商功：古代数学中的两个概念，分别指方形的面积和商的功。
均输对差分之数：古代数学中的一种计算方法，用于计算均输对差分。
方程：指数学中的方程式，用于解决未知数的问题。
泰西：指西方，古代中国对欧洲的称呼。
珠算：用珠子进行计算的一种方法，是中国古代的一种计算工具。
筹算：用竹签进行计算的一种方法，是中国古代的一种计算工具。
九九：指九九乘法表，是中国古代的一种数学教学工具。
尺算：用尺子进行计算的一种方法，古代数学中的一种工具。
三角：指三角学，研究三角形及其性质。
乘莫善於筹，除莫善於笔，加减莫善於珠，比例莫善於尺：古代数学中对于不同计算方法的评价。
揭暄：揭暄，字子宣，是广昌（今属江西省）人，清代数学家。
璇玑遗述七卷：揭暄所著的数学著作，共七卷。
岁差：指由于地球自转轴的进动，导致黄道和赤道的位置发生变化，使得恒星的位置相对于地球上的观测点发生缓慢的移动。
梅文鼎：梅文鼎是清朝的一位天文学家。
历学骈枝二卷：梅文鼎所著的历法学著作，共二卷。
授时历经：古代历法著作，用于授时。
历草：古代历法著作，用于计算历法。
鲁鱼：鲁鱼是指古代书籍中的错误。
垛积招差立算：古代数学中的一种计算方法。
婆罗门十一曜经：古代印度的一种天文学著作。
都聿利斯经：古代印度的一种天文学著作。
札马鲁丁：元代著名天文学家，来自西域。
马沙亦黑：明代著名天文学家，来自西域。
马哈麻：明代著名天文学家，来自西域。
回回术：指来自阿拉伯的数学和天文学。
西域天文书：指来自西域的天文学著作。
天顺：明代的一个年号。
具琳：明代的一个天文仪器制造家。
天文实用：指天文仪器。
监正杨光先：明代的天文学家。
日食图：用于描绘日食的图表。
弧三角：指弧线和三角形的结合，是几何学中的一个概念。
交食蒙求：古代天文学著作，用于计算交食。
七政蒙引：古代天文学著作，用于计算七政。
监正：古代官职，负责天文观测和历法制定。
黄赤距纬图：用于表示黄道和赤道之间距离的图表。
帝星：古代天文学中的一种星，用于指示帝王的地位。
句陈：古代天文学中的一种星，用于指示时间。
星轨真度：用于测定星轨的准确度。
交食管见：用于确定交食观测的方法。
日差原理：用于解释日差现象的原理。
火纬图法：用于绘制火星位置的图表。
七政前均简法：用于简化七政计算的方法。
黄赤距纬图辨：用于辨别黄赤距纬图的真伪。
帝星句陈经纬考异：用于考证帝星和句陈经纬的差异。
康熙己未：康熙年间的己未年，即康熙三十八年（1699年）。康熙是清朝的第四位皇帝，康熙己未指的是他统治期间的一个年份。
明史：《明史》是中国二十四史之一，是关于明朝历史的纪传体史书，由清朝廷组织编纂。
历志：历志是史书中记载历法内容的部分。
钱塘吴任臣：钱塘人吴任臣，明代历法学家，参与编纂《明史》的历志。
嘉禾徐善：嘉禾人徐善，明代历法学家，参与编纂《明史》的历志。
北平刘献廷：北平人刘献廷，明代历法学家，参与编纂《明史》的历志。
毗陵杨文言：毗陵人杨文言，明代历法学家，参与编纂《明史》的历志。
黄宗羲：黄宗羲，明代思想家、史学家，对《明史》的历志有重要贡献。
文鼎：文鼎是古代一个算学家的名字，文中提到子以燕能助其思考。
授时：授时，指古代天文历法中的授时制度，即根据天文现象来确定时间。
元史：元史是指元朝的历史。
法原：历法的基本原理。
句股测望：句股测望，古代天文测量方法，利用句股定理进行观测。
弧天割圜：弧天割圜，古代天文测量方法，利用圆弧和天球进行测量。
黄赤道差：黄赤道差，指地球赤道面与黄道面之间的夹角。
白道交周：白道交周，指月亮轨道与黄道相交的周期。
日月五星平立定三差：日月五星平立定三差，指日月和五大行星的视运动与实际运动之间的差异。
里差刻漏：里差刻漏，古代天文测量中用于计时的工具。
立成：立成，指历法中的各种计算公式和表格。
推步：推步，指根据历法推算天文现象的方法。
月离：月离，指月亮与地球之间的距离。
中星：中星，指天空中某一恒星在一年中的视位置。
五星：五星，指五大行星：水星、金星、火星、木星、土星。
历志赘言：历志赘言，指对《明史》历志的补充说明。
元历：元历，指元朝的历法。
西洋历：西洋历，指西方的历法，如公历。
崇祯朝：崇祯朝，指明朝崇祯帝在位期间（1627年-1644年）。
徐、李诸公：徐、李诸公，指徐光启、李之藻等明代科学家。
革象新书：革象新书，元朝赵友钦所著的天文学著作。
历学疑问：历学疑问，指对历法中疑问的探讨。
扈驾：扈驾，指随从皇帝出行。
邸第：邸第，指官员的住宅。
历算：历法与算术，古代指天文历法和数学。
都俞吁咈：都俞吁咈，古代帝王处理政务时的四种态度：都（赞同）、俞（同意）、吁（反对）、咈（否定）。
关中李颙：关中李颙，指李颙，明代思想家、学者。
河南张沐：河南张沐，指张沐，明代思想家、学者。
绩学参微：绩学参微，指学术成就显著，见解独到。
分天度里：分天度里，指划分天体位置的方法。
浑盖：浑盖，古代天文学中的一种仪器，用于观测天体。
月道仪：月道仪，一种观测月亮轨道的仪器。
郭守敬简仪：郭守敬简仪，元代天文学家郭守敬发明的天文仪器。
浑球：浑球，古代天文学中的一种仪器，用于表示天球。
测器考：测器考，对测量仪器的考察。
自鸣钟：自鸣钟，一种自动报时的钟。
壶漏：壶漏，古代一种计时工具。
日晷：日晷，利用太阳影子来计时的工具。
赤道提晷：赤道提晷，一种测量赤道纬度的仪器。
勿菴揆日器：勿菴揆日器，一种测量日影长度的仪器。
加时日轨高度表：加时日轨高度表，一种测量日影高度的工具。
璇玑尺：璇玑尺，古代的一种测量工具。
测量定时简法：测量定时简法，一种测量时间的方法。
勿庵测望仪式：勿庵测望仪式，一种测量方法。
勿庵仰观仪式：勿庵仰观仪式，一种观测方法。
月道仪式：月道仪式，一种观测月亮轨道的方法。
箧：箧，古代的一种箱子。
七十二候：七十二候，古代根据气候和物候变化划分的72个时节。
太阳纬度：太阳纬度，指太阳在黄道上的纬度。
布算：布算，进行计算。
步交食式：步交食式，推算日食和月食的方法。
步五星式：步五星式是一种计算五大行星运动轨迹的方法。
讹阙：指书籍中的错误和缺失部分。
古历：指古代的历法，如《太初历》、《大衍历》等。
列星距度：指古代对恒星距离和位置的测量。
普天星宿：指全天所有的星宿。
入宿去极度分：指古代天文学中的星宿进入和离开宿度的位置。
闽中林侗：指明代学者林侗，可能是提供抄本的人。
授时之法：指授时法，即制定历法的方法。
几何之学：指几何学，是数学的一个分支，研究形状、大小、相对位置等。
点线面体：几何学中的基本元素，分别是点、线、面和立体。
测量之资：指测量的工具和资料。
制器作图：指制作测量工具和绘制地图。
学者：指研究学问的人。
张皇过甚：指过分张扬，过于夸大。
株守旧法：指固守旧有的方法，不愿意接受新事物。
隔碍：指相互之间有障碍，难以沟通。
筹：古代计算工具，用竹签制成。
尺：古代长度单位。
笔：指书写工具。
比例：指比例关系，两个数或量之间的等比关系。
中法：指中国的数学方法。
赅：指包括，涵盖。
西法：指西方的数学方法。
九数：指《九章算术》，是中国古代一部重要的数学著作。
隶首：《九章算术》中的一种算法。
嘉禾陈荩谟：指明代数学家陈荩谟，提出了尺算用法。
矩算：指一种用尺和板来测量的方法。
比例数解：指比例关系的解法。
对数：数学中的对数，用于描述指数关系。
三角法举要：指三角学的简要内容。
测量名义：指测量的名称和定义。
算例：指数学中的实例或例子。
内容外切：指图形的内部和外部的切线。
或问：指对某个问题的不同看法或疑问。
方程论：指方程式的研究。
几何摘要：指几何学的摘要或概要。
句股测量：指利用勾股定理进行测量的方法。
周髀：指古代测量天体位置的方法。
海岛诸术：指古代关于海岛测量的方法。
录要：指记录要点，总结主要内容。
九九数：指九九乘法表，是中国古代数学教育的基础。
一乘方至九乘方相生之图：指从一乘方到九乘方的乘方关系图，即1^1, 2^1, 3^1, …, 9^1到1^9, 2^9, 3^9, …, 9^9的乘方关系，这是古代数学中研究乘方关系的一种方式。
四乘方与十乘方不可借用他法：在古代数学中，四乘方和十乘方的计算不能通过其他乘方直接得到，需要特殊的计算方法。
测量全义：指古代测量学的重要著作，可能是指《周髀算经》等。
西镜录订註：可能是指西方光学或天文学著作的中文译本及其注释。
权度通几：权度可能指测量工具或方法，通几可能指通用的计算方法。
奇器补註：指对古代机械或工具的描述和解释，补註可能是指对这些描述和解释的补充。
正弦简法：指简化正弦计算的方法。
弧三角举要：指对弧三角学的概要介绍。
黄赤交变：指地球的黄道和赤道的交角变化，这是天文学中的一个重要概念。
测量全义第七、第八、第九卷：指《测量全义》的第七、第八、第九卷，可能涉及特定的测量理论或方法。
天学会通圈线三角法：指天文学会通用的圆线三角法。
环中黍尺：可能是指一种测量工具或方法，黍尺可能是指一种古代的长度单位。
巉堵测量：巉堵可能是指一种古代的测量方法或工具。
几何原本之根：指《几何原本》中的基本原理或基础。
仰观覆矩：可能是指一种观察和计算的方法，覆矩可能是指一种测量工具。
方员幂积：方员可能是指方形和圆形，幂积可能是指面积或体积的计算。
丽泽珠玑：可能是指一本关于数学的著作，丽泽珠玑可能是指其中的精华部分。
算器考：可能是指对古代计算工具的研究。
数学星槎：星槎可能是指一种古代的数学工具或方法。
文鼎历学疑问：指文鼎所著的历学疑问方面的著作。
刘辉祖：可能是指与文鼎有过交往的人。
梅君：可能是指与文鼎有过交往的人。
裕亲王：指清朝的一位亲王。
朱邸：指亲王的府邸。
李文贞公：指清朝的一位官员。
锺伦：可能是指李文贞公的儿子。
鼎徵：可能是指与文鼎有过交往的人。
群从：指一群亲戚。
宿迁徐用锡：指宿迁的徐用锡。
晋江陈万策：指晋江的陈万策。
景州魏廷珍：指景州的魏廷珍。
河间王之锐：指河间的王之锐。
交河王兰生：指交河的王兰生。
地治者：指负责处理丧事的地方官员。
士论：指士人的评价或议论。
子以燕：子以燕是古代的一个人的名字，文中提到他是康熙癸酉举人，对算学有独到见解。
字正谋：字是古代人的别称，正谋是子以燕的字，用来表示其性格或特点。
康熙癸酉举人：康熙癸酉是指清朝康熙年间的一个年份，举人是指通过科举考试获得的一种功名。
算学：算学是研究数学的学科，包括算术、代数、几何等。
恒星历指：恒星历指是指古代天文历法中用来表示恒星位置的术语。
早卒：早卒是指一个人在年轻时去世。
瑴成：瑴成是古代一个人的名字，字玉汝。
改编修：改编修是指担任修订书籍的职务。
国史：国史是指一个国家的官方历史。
蒙养斋：蒙养斋是古代皇宫中的学习机构，用于培养皇室子弟。
御制数理精蕴：御制数理精蕴是清朝皇帝亲自编纂的一部数学著作。
历象考成：历象考成是清朝皇帝亲自编纂的一部天文历法著作。
增删算法统宗：增删算法统宗是瑴成所著的一部数学著作。
赤水遗珍：赤水遗珍是瑴成所著的一部著作。
操缦卮言：操缦卮言是瑴成所著的一部著作。
立天元术：立天元术是古代数学中的一种方法，类似于现代的代数。
授时历草：授时历草是古代一部历法著作。
测圜海镜：测圜海镜是元朝数学家李冶所著的一部数学著作。
艺士：艺士是指有技艺的人。
机：机是指关键或技巧。
天元一：天元一是古代数学中的一种表示未知数的方法。
借根方：借根方是西方数学中的一种表示未知数的方法。
阿尔热八达：阿尔热八达是西方数学著作的名称。
东来法：东来法是指从西方传入的方法。
台官：台官是指古代的官员。
历久失传：历久失传是指某种知识或技艺长期没有流传下来。
故物：故物是指古代的遗物。
史馆：史馆是指古代的官方历史编纂机构。
天文志：天文志是史书中记载天文内容的部分。
司马氏：司马氏是指古代的一个姓氏，司马迁是其中著名的历史学家。
天官：天官是指古代官职中负责天文观测的官员。
廿一史：廿一史是指中国古代的二十四史中的前二十一史。
句股割员：句股割员是古代数学中的一种几何方法。
义非图不明：义非图不明是指没有图就无法明确表达意思。
御制历象考成：御制历象考成是清朝皇帝亲自编纂的一部历法著作。
圣训：圣训是指皇帝的教诲。
昌黎：昌黎是指韩愈，唐代文学家。
自讼：自讼是指自我辩解。
诤臣：诤臣是指敢于直言进谏的臣子。
佛骨：佛骨是指佛教的遗骨。
侃侃：侃侃是指理直气壮的样子。
齐政授时：齐政授时指的是古代齐国根据天文历法来指导农业生产和社会活动，体现了古代天文历法在社会管理中的重要性。
仪象：仪象是指古代用来观测天象的仪器，如浑天仪、简仪等，它们是古代天文学研究的重要工具。
算术：算术是指古代数学，包括算术运算、几何、代数等，它是古代科学技术发展的重要基础。
节候：节候是指一年中各个季节的时间节点，是古代农业生产和社会生活的重要依据。
璇玑玉衡：璇玑玉衡是古代传说中的观测天象的仪器，代表了古代天文学的最高成就。
浑天仪：浑天仪是古代中国的一种天球仪，用于演示天体的运动，是古代天文学的重要仪器。
简仪：简仪是一种用于观测天体的仪器，结构简单，便于携带。
仰仪：仰仪是一种用于观测天体的仪器，可以观测太阳、月亮等天体的位置。
景符：景符是一种用于测量太阳位置的仪器。
观象台：观象台是古代观测天象的场所，通常位于城市的高处，便于观测。
晷影堂：晷影堂是古代测量时间的地方，通过测量日晷的影子来计算时间。
圭表壶漏：圭表壶漏是古代测量时间的一种工具，包括圭表和壶漏两部分。
国初：国初指的是某个朝代建立之初。
象限仪：象限仪是一种用于测量角度的仪器，可以用来测量天体的位置。
句股和较：句股和较是指勾股定理中的两条直角边的和。
句股积：句股积是指勾股定理中的两条直角边的乘积。
句弦和：句弦和是指勾股定理中的直角边与斜边的和。
带纵立方求句股二法：带纵立方求句股二法是一种求解勾股定理的方法。
统宗图：统宗图是一种数学图表，用于整理和展示数学公式和定理。
步天歌：步天歌是一种古代的星历歌，用于记录和记忆天体的位置。
经天该：经天该是明代利玛窦所著的一部天文学著作。
三垣二十八宿：三垣二十八宿是中国古代天文学中用来划分星空的体系。
黄帝始：黄帝始是指黄帝时期，是古代中国传说中的历史时期。
重黎：重黎是中国古代传说中的天文学家。
羲和：羲和是中国古代传说中的天文学家。
中外之官：中外之官是指古代天文学中的星官。
甘、石、巫咸三家：甘、石、巫咸三家是指古代天文学中的三家星官。
黄经：黄经是指天球上从春分点开始到某一点的弧长。
赤经：赤经是指天球上从赤道开始到某一点的弧长。
泰西之学：泰西之学是指西方的学问，这里指西方的天文学。
授时步交食式：授时步交食式是一种计算天文现象的方法。
几何类求新法：几何类求新法是一种新的几何学方法。
比例规解：比例规解是一种用于解决比例问题的方法。
度算：度算是一种古代的测量方法，用于测量长度。
陈荩谟尺算用法：陈荩谟尺算用法是陈荩谟提出的一种尺算方法。
明安图：明安图是蒙古族数学家，著有《割圆密率捷法》。
字静庵：字是古代文人常用的别称，静庵是明安图的别字，用来表示他的性格或品德。
蒙古正白旗人：蒙古正白旗是清朝时蒙古族的一个旗籍，明安图作为旗人，意味着他是蒙古族出身。
官钦天监监正：钦天监是古代中国负责天文、历法、气象等事务的官方机构，监正是该机构的最高官员。
御定历象考成后编：《御定历象考成后编》是康熙帝时期编撰的一部天文历法著作。
御定仪象考成：《御定仪象考成》是康熙帝时期编撰的一部天文仪器制造和使用指南。
连比例：连比例是一种数学关系，指的是两个比例的比值相等。
周径密率：周径密率是指圆的周长与直径的比例，即π的近似值。
正弦、正矢：正弦和正矢是三角函数，分别表示直角三角形中，一个角的对边与斜边的比，以及邻边与斜边的比。
割圜密率捷法：《割圜密率捷法》是明安图所著的一部数学著作，主要介绍了圆的周长、面积的计算方法。
步法：步法在这里指的是一种计算方法或步骤。
弧背：弧背是指圆弧的背面，即圆弧所对的圆心角的两条边。
通弦：通弦是指圆的直径。
正矢：正矢是指直角三角形中，一个角的对边与斜边的比。
八线：八线是指直角三角形的八条边，包括两条直角边和两条斜边，以及斜边上的高。
三角形边角相求：指通过已知条件求解三角形的边长和角度。
法解：法解在这里指的是对某种方法或技术的解释和说明。
开平方：开平方是指找到一个数的平方根。
借弧：借弧是指在计算过程中，借用一个圆弧来简化计算。
正、余弦：正弦和余弦是三角函数，分别表示直角三角形中，一个角的对边与斜边的比，以及邻边与斜边的比。
食俸生：食俸生是指领取国家俸禄的学生。
灵台郎：灵台郎是古代官职，负责天文观测和历法制定。
续明安图割圜密率捷法：指陈际新继续明安图未完成的《割圜密率捷法》。
乾隆甲午：乾隆甲午是乾隆四十九年（1784年），这一年陈际新完成了《割圜密率捷法》的编写。
刘湘煃：刘湘煃是清朝的一位天文学家。
鬻产：卖掉家产，指为了学习而牺牲财富。
岁轮：指天体运动的周期性变化。
历书：记载历法的书籍。
法数：历法中的数值数据。
浑盖通宪天盘：古代天文仪器，用于观测天体。
弧三角法：一种计算天体位置的方法。
恒星经纬表根：恒星的位置和赤道坐标。
月离交均表根：月亮的位置和赤道坐标。
黄白距度表根：地球和太阳之间的距离。
句股弦：直角三角形的两条直角边和斜边。
句股术：研究直角三角形边长关系的数学方法。
开方：求平方根。
三率：直角三角形中的三边长。
四率：直角三角形中的三边长和斜边长。
和较：直角三角形两条直角边的和与差。
兼三和较：直角三角形中三边之和与差。
句股分两句股：将一个直角三角形分成两个直角三角形。
周髀一经：指《周髀算经》，古代中国的一部数学著作。
朱鸿：朱鸿，字云陆，秀水人，嘉庆七年进士，改翰林院庶吉士，散馆授编修。朱鸿在数学领域有研究，尤其是在算学方面。
翰林院庶吉士：翰林院庶吉士是清朝科举制度中的一种官职，是翰林院中的初级官员，主要负责撰写、编辑文献。
散馆授编修：散馆授编修是指庶吉士经过一定时间的培训后，被授予编修的官职，编修是翰林院的高级官员，负责编辑国史。
御史：御史是古代中国的监察官，负责监察官员的行为，维护朝廷法纪。
给事中：给事中是古代中国的官职，负责处理皇帝的日常事务，如处理奏章、传达命令等。
督理湖南粮储道：督理湖南粮储道是指负责管理湖南地区的粮食储备和运输的官员。
三国会要：三国会要是一部关于三国时期历史、政治、经济、文化等方面的书籍。
乾象：乾象是古代中国的一部天文学著作。
景初：景初是古代中国的一个年号，对应公元237年至239年。
橢圆求周术：橢圆求周术是古代中国数学中的一种计算圆周长的方法。
圜柱：圜柱是指圆柱，即底面为圆形的柱子。
句股形：句股形是指直角三角形，其中两条直角边分别称为“句”和“股”，斜边称为“弦”。
密率捷法：密率捷法是一种计算圆周率的快速方法。
蒙古监正：蒙古监正是古代蒙古地区的官职，负责监督和管理。
传写本：传写本是指古代书籍的抄本。
道光：道光是清朝的一个年号，对应公元1821年至1850年。
考工记：考工记是中国古代一部关于工艺技术的书籍。
车制：车制是指车辆的制造工艺。
程氏易畴考工创物小记：程氏易畴考工创物小记是程瑶田所著的一部关于工艺技术的书籍。
博启：博启，字绘亭，满洲正白旗人，乾隆中官钦天监监副。
钦天监：钦天监是古代中国的天文学机构，负责观测天象、制定历法等。
句股和较之术：句股和较之术是一种关于直角三角形的数学方法。
方边：方边是指直角三角形的一条直角边。
员径：员径是指圆的直径。
垂线：垂线是指从直角三角形的一个顶点垂直于对边的线段。
方履亨：方履亨是清朝的一位官员，曾任钦天监监正。
甘泉罗士琳：甘泉罗士琳是清朝的一位数学家。
天元术：天元术是古代中国数学中的一种代数方法。
平三角形：平三角形是指一个角位于两边的中间的三角形。
天步真原：天步真原是薛凤祚翻译的一部天文学著作。
天学会通：天学会通是薛凤祚所著的一部天文学著作。
句股割圜记：句股割圜记是戴震所著的一部数学著作。
董化星：董化星是清朝的一位数学家。
缉古算经：缉古算经是戴震编纂的一部古代数学著作。
薛氏：薛氏指薛凤祚。
帖括：帖括是指科举考试中的应试文章。
乾象拾遗：乾象拾遗是许如兰所著的一部天文学著作。
春晖楼集：春晖楼集是许如兰所著的一部文集。
斗柄：指北斗七星中的第五星，即玉衡星。古人用它来确定季节和方向，因为北斗七星随着季节的变化而旋转，斗柄指向的方位可以指示季节的变化。
天：指宇宙空间，古代对宇宙的理解。
恒星：指天空中的不发光或不发光变化很小的星，古人认为恒星是不动的。
节气：指一年中太阳到达黄道上特定位置的时刻，如冬至、夏至、春分、秋分等。
宫：指天球上划分的28个区域，每个区域对应黄道上的一个星座。
黄道：指太阳在一年中运行的天球大圆，与赤道平行。
赤道：指地球上的一个大圆，是地球自转轴的平面与地球表面的交线。
左旋：指地球自转的方向，从北极上空看，地球自西向东旋转。
右旋：指地球公转的方向，从北极上空看，地球围绕太阳公转的方向是自西向东。
分至：指春分、秋分、夏至、冬至四个节气。
唐、虞：指中国历史上的唐尧和虞舜，是古代的圣君。
虚中：指古代星宿系统中虚宿的位置，与黄道上的子宿相对应。
星纪：指古代星宿系统中星宿的名称，与黄道上的子宿相对应。
丑：指古代天干地支中的地支之一，与黄道上的星宿相对应。
寅：指古代天干地支中的地支之一，与黄道上的星宿相对应。
箕：指古代星宿系统中箕宿的位置，与黄道上的子宿相对应。
泰始明昌国文-古籍-清史稿-列传-卷二百九十三-评注
这段古文首先从天文历法的角度出发，探讨了古人对于恒星和黄道运动的理解。文中提到，古人为了识别日躔，即太阳在黄道上的位置，不得不依赖于恒星，因为恒星在古代被认为是静止不动的。然而，随着时间的推移，人们发现恒星并非完全静止，而是存在岁差现象，即恒星的位置随着时间的流逝而发生变化。
‘天气浑沦，无可识认’这句话揭示了古代天文观测的困难，因为天气的浑浊使得观测变得极其困难。‘古人不得已，即以恒星为天以识日躔’说明了在观测条件有限的情况下，古人如何通过恒星来识别日躔。
‘恒星积久而差，冬至日躔不在原宿，始立岁差之法’反映了古人对于岁差现象的认识，以及他们如何通过这一现象来调整历法。‘古谓恒星不动，而黄道西移’和‘今测普天星座皆动’的对比，展现了古代天文学与近代天文学的差异。
‘斗为帝车，斟酌元气而布之四方’和‘招摇柬指’这两句话体现了古代对于天象的神秘化和象征化，将天象与帝王的统治和宇宙的秩序联系起来。
‘古人以中数为岁，朔数为年’和‘上古气朔同日，故月建起於节气，而不起於中气’等句子，说明了古代历法中岁和年的计算方法，以及月建与节气的关系。
‘斗柄所指分位不真’和‘恒星东移，积久有差’则指出了古代历法中存在的误差，以及恒星运动对历法的影响。
‘恒星一年东行五十馀秒’和‘黄、赤二道斜交’等描述，揭示了恒星和黄道的实际运动情况，以及它们之间的关系。
‘由今箕一以上溯古虚五，历年四千有馀，已差至五十八度’这句话，具体展示了恒星东移的量度，以及这一现象在历史上的长期影响。
最后，‘其他著论无关历算者不录’表明了古文作者对于历法研究的专注，以及对于其他非历算内容的排除。
