作者： 九章算术的作者为刘徽，三国时期的数学家，刘徽是中国古代数学史上最重要的人物之一。他在数学上有着广泛的影响，尤其是《九章算术》的注解及完善，使这本书成为了中国古代最重要的数学经典之一。
年代：成书于西汉（约公元前2世纪）。
内容简要：《九章算术》是中国古代最为重要的数学著作之一，涵盖了代数、几何、算数等多个领域，内容涉及许多实际的数学问题与计算方法。全书分为九章，讲解了如方程求解、面积体积计算、日常生活中的应用问题等数学知识。它系统总结了当时中国的数学理论，提出了各种求解数学问题的方法，许多数学思想如“解方程”的技巧、分数的运算方法等，对后来的数学发展产生了深远的影响。刘徽对《九章算术》的注解，是对中国古代数学理论的进一步发扬光大，为后代数学研究提供了重要的参考。
泰始明昌国文-古籍-九章算术-卷三-原文
○衰分（以御贵贱禀税）
衰分 〔衰分，差也。〕
术曰：各置列衰； 〔列衰，相与率也。重叠，则可约。〕 副并为法，以所分乘未并者，各自为实。实如法而一。
〔法集而衰别。数，本一也。今以所分乘上别，以下集除之，一乘一除，适 足相消，故所分犹存，且各应率而别也。于今有术，列衰各为所求率，副并为所 有率，所分为所有数。又以经分言之，假令甲家三人，乙家二人，丙家一人，并 六人，共分十二，为人得二也。欲复作逐家者，则当列置人数，以一人所得乘之。
今此术先乘而后除也。
不满法者，以法命之。
今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之， 问各得几何？答曰：大夫得一鹿三分鹿之二；不更得一鹿三分鹿之一；簪袅得一 鹿；上造得三分鹿之二；公士得三分鹿之一。
术曰：列置爵数，各自为衰。
〔爵数者，谓大夫五，不更四，簪袅三，上造二，公士一也。《墨子·号令 篇》以爵级为赐，然则战国之初有此名也。〕
副并为法。以五鹿乘未并者各自为实。实如法得一鹿。
〔今有术，列衰各为所求率，副并为所有率，今有鹿数为所有数，而今有之， 即得。〕
今有牛、马、羊食人苗。苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马。”马主 曰：“我马食半牛。”今欲衰偿之，问各出几何？答曰：牛主出二斗八升七分升 之四；马主出一斗四升七分升之二；羊主出七升七分升之一。
术曰：置牛四、马二、羊一，各自为列衰，副并为法。以五斗乘未并者各自 为实。实如法得一斗。
〔淳风等按：此术问意，羊食半马，马食半牛，是谓四羊当一牛，二羊当一 马。今术置羊一、马二、牛四者，通其率以为列衰。〕
今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关， 关税百钱。欲以钱数多少衰出之，问各几何？答曰：甲出五十一钱一百九分钱之 四十一；乙出三十二钱一百九分钱之一十二；丙出一十六钱一百九分钱之五十六。
术曰：各置钱数为列衰，副并为法。以百钱乘未并者，各自为实。实如法得 一钱。
〔淳风等按：此术甲、乙、丙持钱数以为列衰，副并为所有率，未并者各为 所求率，百钱为所有数，而今有之，即得。〕
今有女子善织，日自倍，五日织五尺。问日织几何？答曰：初日织一寸三十 一分寸之十九；次日织三寸三十一分寸之七；次日织六寸三十一分寸之十四；次 日织一尺二寸三十一分寸之二十八；次日织二尺五寸三十一分寸之二十五。
术曰：置一、二、四、八、十六为列衰，副并为法。以五尺乘未并者，各自 为实。实如法得一尺。
今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十 六。凡三乡发徭三百七十八人。欲以算数多少衰出之，问各几何？答曰：北乡遣 一百三十五人一万二千一百七十五分人之一万一千六百三十七；西乡遣一百一十 二人一万二千一百七十五分人之四千四；南乡遣一百二十九人一万二千一百七十 五分人之八千七百九。
术曰：各置算数为列衰， 〔淳风等按：三乡算数，约，可半者，为列衰。〕 副并为法。以所发徭人数乘未并者，各自为实。实如法得一人。
〔按：此术，今有之义也。〕
今有禀粟，大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，一十五斗。今有大夫 一人后来，亦当禀五斗。仓无粟，欲以衰出之，问各几何？答曰：大夫出一斗四 分斗之一；不更出一斗；簪袅出四分斗之三；上造出四分斗之二；公士出四分斗 之一。
术曰：各置所禀粟斛，斗数、爵次均之，以为列衰。副并而加后来大夫亦五 斗，得二十以为法。以五斗乘未并者，各自为实。实如法得一斗。
〔禀前五人十五斗者，大夫得五斗，不更得四斗，簪袅得三斗，上造得二斗， 公士得一斗。欲令五人各依所得粟多少减与后来大夫，即与前来大夫同。据前来 大夫已得五斗，故言亦也。各以所得斗数为衰，并得十五，而加后来大夫亦五斗， 凡二十，为法也。是为六人共出五斗，后来大夫亦俱损折。今有术，副并为所有 率，未并者各为所求率，五斗为所有数，而今有之，即得。〕
今有禀粟五斛，五人分之。欲令三人得三，二人得二，问各几何？答曰：三 人，人得一斛一斗五升十三分升之五；二人，人得七斗六升十三分升之十二。
术曰：置三人，人三；二人，人二，为列衰。副并为法。以五斛乘未并者各 自为实。实如法得一斛。
反衰术曰：列置衰而令相乘，动者为不动者衰。
今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共出百钱。欲令高爵出少，以 次渐多，问各几何？答曰：大夫出八钱一百三十七分钱之一百四；不更出一十钱 一百三十七分钱之一百三十；簪袅出一十四钱一百三十七分钱之八十二；上造出 二十一钱一百三十七分钱之一百二十三；公士出四十三钱一百三十七分钱之一百 九。
术曰：置爵数，各自为衰，而反衰之。副并为法。以百钱乘未并者，各自 为实。实如法得一钱。
〔以爵次言之，大夫五、不更四。欲令高爵得多者，当使大夫一人受五分， 不更一人受四分。人数为母，分数为子。母同则子齐，齐即衰也。故上衰分宜以 五、四为列焉。今此令高爵出少，则当大夫五人共出一人分，不更四人共出一人 分，故谓之反衰。人数不同，则分数不齐。当令母互乘子。母互乘子，则动者为 不动者衰也。亦可先同其母，各以分母约，其子为反衰。副并为法。以所分乘未 并者，各自为实。实如法而一。〕
今有甲持粟三升，乙持粝米三升，丙持粝饭三升。欲令合而分之，问各几何？
答曰：甲二升一十分升之七；乙四升一十分升之五；丙一升一十分升之八。
术曰：以粟率五十、粝米率三十、粝饭率七十五为衰，而反衰之。副并为法。
以九升乘未并者，各自为实。实如法得一升。
〔按：此术，三人所持升数虽等，论其本率，精粗不同。米率虽少，令最得 多；饭率虽多，反使得少。故令反之，使精得多而粗得少。于今有术，副并为所 有率，未并者各为所求率，九升为所有数，而今有之，即得。〕
今有丝一斤，价直二百四十。今有钱一千三百二十八，问得丝几何？
答曰：五斤八两一十二铢五分铢之四。
术曰：以一斤价数为法，以一斤乘今有钱数为实。实如法得丝数。
〔按：此术今有之义，以一斤价为所有率，一斤为所求率，今有钱为所有数， 而今有之，即得。〕
今有丝一斤，价直三百四十五。今有丝七两一十二铢，问得钱几何？
答曰：一百六十一钱三十二分钱之二十三。
术曰：以一斤铢数为法，以一斤价数乘七两一十二铢为实。实如法得钱数。
〔淳风等按：此术亦今有之义。以丝一斤铢数为所有率，价钱为所求率，今 有丝为所有数，而今有之，即得。〕
今有缣一丈，价直一百二十八。今有缣一匹九尺五寸，问得钱几何？
答曰：六百三十三钱五分钱之三。
术曰：以一丈寸数为法，以价钱数乘今有缣寸数为实。实如法得钱数。
〔淳风等按：此术亦今有之义。以缣一丈寸数为所有率，价钱为所求率，今 有缣寸数为所有数，而今有之，即得。〕
今有布一匹，价直一百二十五。今有布二丈七尺，问得钱几何？
答曰：八十四钱八分钱之三。
术曰：以一匹尺数为法，今有布尺数乘价钱为实。实如法得钱数。
〔淳风等按：此术亦今有之义。以一匹尺数为所有率，价钱为所求率，今有 布为所有数，今有之，即得。〕
今有素一匹一丈，价直六百二十五。今有钱五百，问得素几何？
答曰：得素一匹。
术曰：以价直为法，以一匹一丈尺数乘今有钱数为实。实如法得素数。
〔淳风等按：此术亦今有之义。以价钱为所有率，五丈尺数为所求率，今有 钱为所有数，今有之，即得。〕
今有与人丝一十四斤，约得缣一十斤。今与人丝四十五斤八两，问得缣几何？
答曰：三十二斤八两。
术曰：以一十四斤两数为法，以一十斤乘今有丝两数为实。实如法得缣数。
〔淳风等按：此术亦今有之义。以一十四斤两数为所有率，一十斤为所求率， 今有丝为所有数，而今有之，即得。〕
今有丝一斤，耗七两。今有丝二十三斤五两，问耗几何？
答曰：一百六十三两四铢半。
术曰：以一斤展十六两为法。以七两乘今有丝两数为实。实如法得耗数。
〔淳风等按：此术亦今有之义。以一斤为十六两为所有率，七两为所求率， 今有丝为所有数，而今有之，即得。〕
今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两。今有干丝一十二斤，问生丝几何？
答曰：一十三斤一十一两十铢七分铢之二。
术曰：置生丝两数，除耗数，余，以为法。
〔馀四百二十两，即干丝率。〕
三十斤乘干丝两数为实。实如法得生丝数。
〔凡所得率，如细则俱细，粗则俱粗，两数相抱而已。故品物不同，如上缣、 丝之比，相与率焉。三十斤凡四百八十两，今生丝率四百八十两，今干丝率四百 二十两，则其数相通。可俱为铢，可俱为两，可俱为斤，，无所归滞也。若然， 宜以所有干丝斤数乘生丝两数为实。今以斤、两错互而亦同归者，使干丝以两数 为率，生丝以斤数为率，譬之异类，亦各有一定之势。
淳风等按：此术，置生丝两数，除耗数，余即干丝之率，于今有术为所有率； 三十斤为所求率，干丝两数为所有数。凡所为率者，细则俱细，粗则俱粗。今有 一斤乘两知，干丝即以两数为率，生丝即以斤数为率，譬之异物，各有一定之率 也。〕
今有田一亩，收粟六升太半升。今有田一顷二十六亩一百五十九步，问收粟 几何？
答曰：八斛四斗四升一十二分升之五。
术曰：以亩二百四十步为法。以六升太半升乘今有田积步为实。实如法得粟 数。
〔淳风等按：此术亦今有之义。以一亩步数为所有率，六升太半升为所求率， 今有田积步为所有数，而今有之，即得。〕
今有取保，一岁价钱二千五百。今先取一千二百，问当作日几何？
答曰：一百六十九日二十五分日之二十三。
术曰：以价钱为法，以一岁三百五十四日乘先取钱数为实。实如法得日数。
〔淳风等按：此术亦今有之义。以价为所有率，一岁日数为所求率，取钱为 所有数，而今有之，即得。〕
今有贷人千钱，月息三十。
今有贷人七百五十钱，九日归之，问息几何？答 曰：六钱四分钱之三。
术曰：以月三十日乘千钱为法。
〔以三十日乘千钱为法者，得三万，是为贷人钱三万，一日息三十也。〕
以息三十乘今所贷钱数，又以九日乘之，为实。
实如法得一钱。
〔以九日乘今所贷钱为今一日所有钱，于今有术为所有数，息三十为所求率；
三万钱为所有率。此又可以一月三十日约息三十钱，为十分一日，以乘今一日所 有钱为实；千钱为法。
为率者，当等之于一也。故三十日或可乘本，或可约息， 皆所以等之也。〕
泰始明昌国文-古籍-九章算术-卷三-译文
衰分（以御贵贱禀税） 衰分 〔衰分，差也。〕 术曰：各置列衰； 〔列衰，相与率也。重叠，则可约。〕 副并为法，以所分乘未并者，各自为实。实如法而一。
（这里的衰分，指的是差别。方法说：分别设立各个等级的衰分；〔列衰，是指相互之间的比率。重叠起来，就可以进行约简。〕 将它们相加作为法，用分得的份额乘以未相加的部分，各自作为实数。实数按照法来计算，得到一个结果。
（法是汇集而区分的。数字，本来是一致的。现在用分得的份额乘以上面的区分，以下集除之，一乘一除，正好相互抵消，所以分得的份额仍然存在，并且各自对应着比率而区分。现在有一种方法，各个等级的衰分作为所求的比率，相加作为所有的比率，分得的份额作为所有的数量。再以具体的分法来说，假设甲家有三人，乙家有二人，丙家有一个人，加起来共六人，总共分得十二份，每人得到两份。如果想分别计算每家，那么就要列出人数，用每人得到的份额来乘。
现在这种方法是先乘后除。如果不足法的规定，就用法来规定。
现在有大夫、不更、簪袅、上造、公士，共五个人，一起打猎得到五只鹿。想要按照爵位的高低来分配，问每个人能得到多少？答曰：大夫得到一只鹿的三分之二；不更得到一只鹿的三分之一；簪袅得到一只鹿；上造得到一只鹿的三分之二；公士得到一只鹿的三分之一。
方法说：列出爵位等级，各自作为衰分。
（爵位等级指的是大夫五级，不更四级，簪袅三级，上造二级，公士一级。《墨子·号令篇》中用爵位等级来赐予，那么战国初期就有了这个名称。〕 相加作为法。用五只鹿乘以未相加的部分，各自作为实数。实数按照法来计算，得到一只鹿。
现在有牛、马、羊吃了人的苗。苗的主人要求赔偿五斗粟。羊的主人说：‘我的羊吃了马的一半。’马的主人说：‘我的马吃了牛的一半。’现在想要按照比例来赔偿，问每个人应该赔偿多少？答曰：牛的主人赔偿二斗八升七分升的四分之一；马的主人赔偿一斗四升七分升的二分之一；羊的主人赔偿七升七分升的一分之一。
方法说：将牛四、马二、羊一分别作为列衰，相加作为法。用五斗乘以未相加的部分，各自作为实数。实数按照法来计算，得到一斗。
（淳风等人按：这个方法的问法，羊吃了马的一半，马吃了牛的一半，这就是说四只羊相当于一只牛，两只羊相当于一匹马。现在的方法中，将羊一、马二、牛四的比率通算作为列衰。〕
现在有甲拿着五百六十钱，乙拿着三百五十钱，丙拿着一百八十钱，三个人一起出关，关税是百钱。想要按照钱数的多少来衰出，问每个人应该出多少？答曰：甲出五十一钱一百九分钱之四十一；乙出三十二钱一百九分钱之十二；丙出一十六钱一百九分钱之五十六。
方法说：将钱数分别作为列衰，相加作为法。用百钱乘以未相加的部分，各自作为实数。实数按照法来计算，得到一钱。
（淳风等人按：这个方法中，甲、乙、丙的钱数作为列衰，相加作为所有率，未相加的部分各自作为所求率，百钱作为所有数，现在这样计算，就可以得到结果。〕
现在有女子擅长织布，每天产量翻倍，五天织了五尺。问每天织多少？答曰：第一天织一寸三十一分寸之十九；第二天织三寸三十一分寸之七；第三天织六寸三十一分寸之十四；第四天织一尺二寸三十一分寸之二十八；第五天织二尺五寸三十一分寸之二十五。
方法说：将一、二、四、八、十六作为列衰，相加作为法。用五尺乘以未相加的部分，各自作为实数。实数按照法来计算，得到一尺。
现在有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六。总共三个乡发徭三百七十八人。想要按照算数的多少来衰出，问每个乡应该派遣多少人？答曰：北乡派遣一百三十五人一万二千一百七十五分人之一万一千六百三十七；西乡派遣一百一十二人一万二千一百七十五分人之四千四；南乡派遣一百二十九人一万二千一百七十五分人之八千七百九。
方法说：将算数分别作为列衰，〔淳风等人按：三个乡的算数，约简后可半的作为列衰。〕 相加作为法。用派遣的徭役人数乘以未相加的部分，各自作为实数。实数按照法来计算，得到一个人。
（按：这个方法，就是现在所说的‘今有’的方法。〕
现在有禀粟，大夫、不更、簪袅、上造、公士共五人，一共十五斗。现在有大夫一个人后来加入，也应该分得五斗。仓库没有足够的粟，想要按照衰分来分配，问每个人应该分得多少？答曰：大夫分得四分斗之一；不更分得四分斗之一；簪袅分得四分斗之三；上造分得四分斗之二；公士分得四分斗之一。
方法说：将所禀粟的斗数、爵位等级平均分配，作为列衰。相加后加上后来加入的大夫也分得五斗，总共二十斗作为法。用五斗乘以未相加的部分，各自作为实数。实数按照法来计算，得到一斗。
（禀前五人十五斗的，大夫分得五斗，不更分得四斗，簪袅分得三斗，上造分得二斗，公士分得一斗。想要让五人按照所得粟的多少减去给后来加入的大夫，这样就能和之前的大夫分得一样多。根据之前的大夫已经分得五斗，所以说‘也’。各自以所得的斗数作为衰分，相加得到十五斗，再加上后来加入的大夫也分得五斗，总共二十斗，作为法。这就是六人共分五斗，后来加入的大夫也都有所损失。现在有方法，相加作为所有率，未相加的部分各自作为所求率，五斗作为所有数，现在这样计算，就可以得到结果。〕
现在有禀粟五斛，五人分之。想要让三人分得三斛，两人分得两斛，问每个人应该分得多少？答曰：三人，每人分得一斛一斗五升十三分升之五；两人，每人分得七斗六升十三分升之十二。
方法说：将三人每人分得三斛，两人每人分得两斛，作为列衰。相加作为法。用五斛乘以未相加的部分，各自作为实数。实数按照法来计算，得到一斛。
反衰术说：列出衰分并令其相乘，动者作为不动者的衰分。
现在有大夫、不更、簪袅、上造、公士共五个人，一共出百钱。想要让爵位高的出得少，依次递增，问每个人应该出多少？答曰：大夫出八钱一百三十七分钱之十四；不更出十钱一百三十七分钱之十三；簪袅出十四钱一百三十七分钱之八十二；上造出二十一钱一百三十七分钱之十二；公士出四十三钱一百三十七分钱之十九。
方法说：将爵位等级分别作为衰分，然后进行反衰。相加作为法。用百钱乘以未相加的部分，各自作为实数。实数按照法来计算，得到一钱。]
按照爵位的高低来说，大夫是五等，不更（官名）是四等。想要让高爵位的人得到更多，应该让一个大夫得到五份，一个不更得到四份。人数是母数，分数是子数。母数相同，子数就相等，相等就意味着衰败。所以上级的衰败应该以五和四作为标准。现在这个命令让高爵位的人出得少，那么大夫五人共出一份，不更四人共出一份，所以叫做反衰。人数不同，分数就不相等。应该让母数和子数互相乘。母数和子数互相乘，那么活动的人就会变成不活动的人，这就是衰败。也可以先让母数相同，各自用分母来约简，子数就是反衰。副数和并数作为法则。用所分的乘数乘未并的数，各自作为实数。实数按照法则来除，得到一升。
现在有甲拿着三升粟，乙拿着三升粝米，丙拿着三升粝饭。想要将它们混合后分开，问各自有多少？答案是：甲有二升七十分之一升的七；乙有四升五十分之一升的五；丙有一升八十分之一升的八。
方法说：以粟的比率五十、粝米的比率三十、粝饭的比率七十五作为衰，然后进行反衰。副数和并数作为法则。用九升乘未并的数，各自作为实数。实数按照法则来除，得到一升。
按照：这个方法，三人所持的升数虽然相同，但按照它们的基本比率，精粗不同。米比率虽然少，但分配得最多；饭比率虽然多，但分配得最少。所以让它们反过来，使精细的得到更多，粗糙的得到更少。对于现在的方法，副数和并数作为所有比率，未并的数各自作为所求比率，九升作为所有数，这就是现在的方法，就能得到。
现在有一斤丝，价值是二百四十钱。现在有一千三百二十八钱，问能得到多少斤丝？答案是：五斤八两一十二铢五分铢的四。
方法说：以一斤的价格作为法则，用一斤乘现在的钱数作为实数。实数按照法则来除，得到丝的数量。
按照：这个方法，现在的意义是以一斤的价格作为所有比率，一斤作为所求比率，现在的钱作为所有数，这就是现在的方法，就能得到。
现在有一斤丝，价值是三百四十五钱。现在有七两一十二铢的丝，问能得到多少钱？答案是：一百六十一钱三十二分钱的二十三。
方法说：以一斤的铢数作为法则，用一斤的价格乘七两一十二铢作为实数。实数按照法则来除，得到钱数。
淳风等人按：这个方法也是现在的意义。以一斤的铢数作为所有比率，价格作为所求比率，现在的丝作为所有数，这就是现在的方法，就能得到。
现在有一丈缣，价值是一百二十八钱。现在有一匹九尺五寸的缣，问能得到多少钱？答案是：六百三十三钱三分钱的二。
方法说：以一丈的寸数作为法则，用价格数乘现在的缣寸数作为实数。实数按照法则来除，得到钱数。
淳风等人按：这个方法也是现在的意义。以一丈的寸数作为所有比率，价格作为所求比率，现在的缣寸数作为所有数，这就是现在的方法，就能得到。
现在有一匹布，价值是一百二十五钱。现在有二丈七尺的布，问能得到多少钱？答案是：八十四钱三分钱的二。
方法说：以一匹的尺数作为法则，用现在的布尺数乘价格作为实数。实数按照法则来除，得到钱数。
淳风等人按：这个方法也是现在的意义。以一匹的尺数作为所有比率，价格作为所求比率，现在的布作为所有数，这就是现在的方法，就能得到。
现在有一匹一丈的素，价值是六百二十五钱。现在有五百钱，问能得到多少素？答案是：能得到一匹。
方法说：以价格作为法则，用一匹一丈的尺数乘现在的钱数作为实数。实数按照法则来除，得到素的数量。
淳风等人按：这个方法也是现在的意义。以价格作为所有比率，五丈尺数作为所求比率，现在的钱作为所有数，这就是现在的方法，就能得到。
现在有与人十四斤丝，约定得到十斤缣。现在有与人四十五斤八两的丝，问能得到多少缣？答案是：三十二斤八两。
方法说：以十四斤两数作为法则，用十斤乘现在的丝两数作为实数。实数按照法则来除，得到缣的数量。
淳风等人按：这个方法也是现在的意义。以十四斤两数作为所有比率，十斤作为所求比率，现在的丝作为所有数，这就是现在的方法，就能得到。
现在有一斤丝，损耗七两。现在有二十三斤五两的丝，问损耗多少？答案是：一百六十三两四铢半。
方法说：以一斤十六两作为法则。用七两乘现在的丝两数作为实数。实数按照法则来除，得到损耗数。
淳风等人按：这个方法也是现在的意义。以一斤十六两作为所有比率，七两作为所求比率，现在的丝作为所有数，这就是现在的方法，就能得到。
现在有三十斤生丝，晒干后损耗三斤十二两。现在有十二斤干丝，问有多少生丝？答案是：十三斤十一两十铢七分铢的二。
方法说：将生丝的重量除以损耗的重量，余数作为法则。
（余四百二十两，即干丝的比率。）三十斤乘干丝的重量作为实数。实数按照法则来除，得到生丝的数量。
（所有得到的比率，如果是细的都细，如果是粗的都粗，两个数相乘就可以了。所以不同种类的物品，比如上面的缣和丝的比率，可以相互比较。）三十斤总共四百八十两，现在的生丝比率四百八十两，现在的干丝比率四百二十两，它们的数量是相通的。可以都转换为铢，都转换为两，都转换为斤，没有滞留的地方。如果是这样，应该用所有干丝的斤数乘生丝的重量作为实数。现在用斤和两交错相乘，也同样是相通的。使干丝以两为比率，生丝以斤为比率，就像不同的事物，各自有一定的规律。
淳风等人按：这个方法，将生丝的重量除以损耗的重量，余数就是干丝的比率，在现在的方法中作为所有比率；三十斤作为所求比率，干丝的重量作为所有数。所有的比率，细的都细，粗的都粗。现在一斤乘以两，干丝就以两为比率，生丝就以斤为比率，就像不同的事物，各自有一定的比率。
现在有一亩田，收获六升多一点。现在有一顷二十六亩一百五十九步的田，问能收获多少粟？答案是：八斛四斗四升十二分升的五。
方法说：以亩二百四十步作为法则。用六升多一点乘现在的田积步作为实数。实数按照法则来除，得到粟的数量。
淳风等人按：这个方法也是现在的意义。以一亩步数作为所有比率，六升多一点作为所求比率，现在的田积步作为所有数，这就是现在的方法，就能得到。
现在有取保，一年的价格是二千五百钱。现在先取一千二百钱，问相当于多少天？答案是：一百六十九天二十五分天的二十三。
方法说：以价格作为法则，用一年的三百五十四天乘先取的钱数作为实数。实数按照法则来除，得到天数。
淳风等人注释说：这种算法也是现在的意义。以价格作为所有率的计算，一年的天数作为所求率的计算，取钱作为所有数，现在有的就是结果。
现在有人借了别人一千钱，每月利息是三十钱。现在有人借了别人七百五十钱，九天后归还，问利息是多少？答案是：六钱四分钱三分之二。
算法是这样的：用每月的三十天乘以一千钱作为计算的基础。
用三十天乘以一千钱作为计算的基础，得到三万，这就是借出去的钱三万，每天的利息是三十钱。
用每天的利息三十钱乘以现在借出的钱数，再乘以九天，得到实际利息。实际利息除以计算基础得到一钱。
用九天乘以现在借出的钱作为现在一天的所有钱，在现在的算法中作为所有数，利息三十钱作为所求率；三万钱作为所有率。
这又可以一个月三十天除以利息三十钱，得到每天十分之一，再乘以现在一天的所有钱作为实际利息；一千钱作为计算基础。作为比例的，相当于一比一。所以三十天或者可以乘本金，或者可以除以利息，都是为了达到一比一的比例。
泰始明昌国文-古籍-九章算术-卷三-注解
衰分：衰分，即按比例分配。在古代，衰分常用于分配资源或责任，根据不同的情况，按一定的比例进行分配。
列衰：列衰，指将分配比例列成表格，以便于计算和比较。在数学中，列衰可以用来表示不同比例的分配。
相与率：相与率，即相互之间的比例关系。在分配资源时，相与率决定了不同个体之间的分配比例。
重叠：重叠，指将不同的比例关系叠加在一起，以便于进行计算。
约：约，指简化计算过程，通过合并或消除相同的比例关系来简化计算。
副并为法：将所有的比例合并为一个法。
实如法而一：实际的数值按照法来计算，得到的结果是1。
法集而衰别：法集而衰别，指将所有比例关系汇总后，分别计算出每个个体的分配数量。
数，本一也：数，本一也，即所有的计算都是以一个基本单位为基础。
上别：上别，指上一步骤中计算出的结果。
集除：集除，指将上一步骤的结果进行除法运算。
适足相消：适足相消，指通过加减乘除等运算，使得某些数值相互抵消。
所分：所分，指按照比例分配的数量。
应率：应率，指按照比例关系应该分配的数量。
假令：假令，即假设。
并：并，指将多个个体合并为一个整体。
复作逐家者：复作逐家者，指重新按照每个家庭进行分配。
置：置，指设立或安排。
乘：乘，指乘法运算。
除：除，指除法运算。
不满法者：不满法者，指未达到分配比例的个体。
以法命之：以法命之，即按照分配比例进行计算。
大夫：古代中国官职，是贵族阶层中的一种，地位高于士，低于诸侯。
不更：古代军职，指低级军官。
簪袅：簪袅，古代的一种官职，地位低于不更。
上造：上造，古代的一种官职，地位低于簪袅。
公士：公士，古代的一种官职，地位最低。
共猎得五鹿：共猎得五鹿，指五个人共同猎得五只鹿。
问各得几何：问各得几何，即询问每个人分别得到多少。
术曰：术曰，即按照以下方法进行计算。
列置爵数：列置爵数，即将不同官职的等级列出来。
以五鹿乘未并者各自为实：以五鹿乘未并者各自为实，即将五只鹿按照不同的比例关系进行分配。
实如法得一鹿：实如法得一鹿，即按照比例关系计算出每个人得到的鹿的数量。
牛：牛，指牛这种动物。
马：马，指马这种动物。
羊：羊，指羊这种动物。
食人苗：食人苗，指牛、马、羊吃了人种植的苗。
苗主责之粟五斗：苗主责之粟五斗，指苗的主人要求牛、马、羊的主人赔偿五斗粟。
衰偿之：衰偿之，即按照比例进行赔偿。
问各出几何：问各出几何，即询问每个人应该赔偿多少。
钱：古代货币单位，此处指铜钱。
关税：关税，指过境时需要缴纳的税。
俱出关：俱出关，指三个人一起出关。
持钱：持钱，指携带货币。
出关：出关，指离开国境。
关：关，指关口。
善织：善织，指擅长织布。
日自倍：日自倍，指每天织布的数量是前一天的两倍。
织五尺：织五尺，指五天内织了五尺布。
日织几何：日织几何，即每天织布的数量是多少。
北乡：北乡，指北方的一个地区。
西乡：西乡，指西方的一个地区。
南乡：南乡，指南方的一个地区。
发徭：发徭，指征召劳役。
算：算，指计算。
北乡算：北乡算，指北乡的计算结果。
西乡算：西乡算，指西乡的计算结果。
南乡算：南乡算，指南乡的计算结果。
徭：徭，指劳役。
禀粟：禀粟，指领取粮食。
仓无粟：仓无粟，指仓库里没有粮食。
衰出之：衰出之，即按照比例进行分配。
算数：算数，指计算的结果。
均之：均之，指平均分配。
斗：斗，古代的容量单位。
分：分，古代的容量单位，一斗等于十分。
反衰术：反衰术，指一种特殊的衰分计算方法。
高爵出少：高爵出少，指官职高的人出钱少。
以次渐多：以次渐多，指官职低的人出钱逐渐增多。
反衰之：通过反比例的方法来计算。
母同则子齐，齐即衰也：在数学上，母指分母，子指分子。母同则子齐意味着分母相同，分子也相同，这是平衡的状态。齐即衰也，表示平衡被打破，意味着减少。
反衰：指通过改变分子和分母的比例，使得原本平衡的状态变得不平衡，即减少。
衰：在数学上，衰指的是比例的减少。
粟：古代的一种谷物，即小米。
粝米：粗粮，指未加工的米。
粝饭：用粗粮煮成的饭。
率：比例，比率。
铢：古代的重量单位，一铢等于二十四分之一两。
缣：古代的一种丝织品。
匹：古代布匹的计量单位。
丈：古代长度单位，一丈等于十尺。
尺：古代长度单位，一尺等于十寸。
素：古代的一种丝织品。
斤：古代重量单位，一斤等于十六两。
两：古代重量单位，一两等于二十四铢。
步：古代长度单位，一亩分为一百四十步。
取保：古代的一种担保方式，通过支付一定金额作为担保。
日：时间单位，一日等于24小时。
淳风：淳风，此处可能指的是古代某位专家或学者，具体身份不详。
术：指计算方法或数学公式。
价：在此处指货币的价值，即货币的价格。
所有率：指货币的价值比率，即一定数量的货币在一段时间内的价值。
一岁日数：一年的天数，古代通常指365天。
所求率：指所要求的利率或利息比率。
贷人：出借钱财的人。
月息：每月的利息。
归之：归还。
息几何：利息是多少。
法：计算的方法或依据。
实：计算中的实际数值。
如法：按照计算方法。
等之：使之相等，此处指使计算结果与实际情况相符。
泰始明昌国文-古籍-九章算术-卷三-评注
淳风等按：此术亦今有之义。
这句话表明，淳风等人所讨论的这种计算方法，在今天的语境中仍然具有实际的意义。‘术’在这里指的是一种计算方法或技巧，‘今有之义’则说明这种方法是现代人所理解的，具有普遍性。
以价为所有率，一岁日数为所求率，取钱为所有数，而今有之，即得。
这句话是计算利息的基本原则。‘价为所有率’指的是本金作为计算利息的基础，‘一岁日数为所求率’是指一年中的天数作为计算利息的基准，‘取钱为所有数’则是指将钱数作为计算利息的总量。‘而今有之，即得’意味着按照这种方法计算，就可以得到结果。
今有贷人千钱，月息三十。
这里描述了一个具体的贷款情况，即有人借了1000钱，每月的利息是30钱。这是计算利息问题的背景信息。
今有贷人七百五十钱，九日归之，问息几何？答 曰：六钱四分钱之三。
这个问题是一个具体的计算问题，有人借了750钱，9天后归还，要求计算利息。答案是6钱4分钱之3，即0.75钱。
术曰：以月三十日乘千钱为法。
这里提出了解决问题的方法，即以一个月30天乘以1000钱作为计算的基础，即法。
以三十日乘千钱为法者，得三万，是为贷人钱三万，一日息三十也。
这句话解释了为什么以30天乘以1000钱作为法，即得到30000钱，这是贷款人的总金额，每天的利息是30钱。
以息三十乘今所贷钱数，又以九日乘之，为实。
这里描述了计算利息的具体步骤，即用每天的利息30钱乘以当前的贷款金额，再乘以9天，得到实际利息。
实如法得一钱。
这里的‘实’指的是实际利息，‘如法’是指按照之前设定的方法（即以30天乘以1000钱作为法）来计算，最终得到的结果是1钱。
以九日乘今所贷钱为今一日所有钱，于今有术为所有数，息三十为所求率；三万钱为所有率。此又可以一月三十日约息三十钱，为十分一日，以乘今一日所有钱为实；千钱为法。为率者，当等之于一也。故三十日或可乘本，或可约息，皆所以等之也。
这段话详细解释了计算利息的方法。‘今一日所有钱’指的是当前一天的总金额，‘今有术’是指现在的计算方法，‘所求率’是指要计算的利息率，‘所有率’是指本金。这里通过将一个月的利息平均到每一天，来计算每天的利息，最后通过乘以实际天数得到总利息。‘为率者，当等之于一也’说明在计算过程中，所有数值都被转换成了相同的单位，以便进行计算。‘三十日或可乘本，或可约息’则说明在计算过程中，可以根据需要选择乘以本金或者约简利息，以达到计算的目的。
